Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Sea la función $f(x) = x \cdot (x-3)^2$

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$ y el eje OX. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\textbf{i) Calcule los puntos de corte con los ejes.}\ (1\ \text{punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$f(0)=0\cdot(0-3)^2=0 \Rightarrow (0,0)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $f(x)=0$.

$x(x-3)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=3 \end{cases}$

Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(3,0)$.

$\textbf{ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.}\ (3\ \text{puntos})$

Se desarrolla la función antes de derivar:

$f(x)=x\left(x^2-6x+9\right)=x^3-6x^2+9x$

$f'(x)=3x^2-12x+9=3\left(x^2-4x+3\right)=3(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos:

$f'(0)=9>0$, la función crece.

$f'(2)=3(1)(-1)=-3<0$, la función decrece.

$f'(4)=3\cdot 3\cdot 1=9>0$, la función crece.



La función crece en $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$ y decrece en $(1,3)$.

En $x=1$ la derivada pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo:

$f(1)=1-6+9=4 \Rightarrow (1,4)$

En $x=3$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:

$f(3)=27-54+27=0 \Rightarrow (3,0)$

$\textbf{iii) Dibuje el recinto limitado por la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje OX.}\ (2\ \text{puntos})$

El recinto queda entre los dos cortes con el eje de abscisas, $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es positiva, porque $x>0$ y $(x-3)^2>0$, así que la curva va por encima del eje y lo toca en los dos extremos.



$\textbf{iv) Calcule el área de dicho recinto.}\ (4\ \text{puntos})$

Como la función no cambia de signo dentro del intervalo, el área es directamente la integral definida.

$A=\int_0^3\left(x^3-6x^2+9x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^3+\dfrac{9x^2}{2}\right]_0^3$

$A=\left(\dfrac{81}{4}-54+\dfrac{81}{2}\right)-0=\dfrac{81+162-216}{4}=\dfrac{27}{4}$

El área del recinto es $\dfrac{27}{4}=6{,}75$ unidades de área.