Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x) = \dfrac{x}{x^2-4}$

i) Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando los puntos de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = 1$. (4 puntos)

iii) Calcule $\displaystyle\int f(x)\,dx$. (3 puntos)

$\textbf{i) Estudie la continuidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, clasificando los puntos de discontinuidad.}\ (3\ \text{puntos})$

La función es un cociente de polinomios, así que es continua en todos los puntos en los que no se anula el denominador.

$x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$

El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ y en esos dos puntos hay que estudiar el tipo de discontinuidad. En ninguno de ellos se anula el numerador, de modo que los límites laterales son infinitos.

$\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac{2}{0^-}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac{2}{0^+}=+\infty$

$\lim_{x\to-2^-}\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty;\qquad \lim_{x\to-2^+}\dfrac{x}{x^2-4}=\dfrac{-2}{0^-}=+\infty$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{-2,2\}$ y presenta en $x=-2$ y en $x=2$ sendas discontinuidades de salto infinito. Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales.

$\textbf{ii) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.

$f(1)=\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3}$

Se deriva aplicando la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{1\cdot\left(x^2-4\right)-x\cdot 2x}{\left(x^2-4\right)^2}=\dfrac{x^2-4-2x^2}{\left(x^2-4\right)^2}=\dfrac{-x^2-4}{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(1)=\dfrac{-1-4}{(1-4)^2}=\dfrac{-5}{9}$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{9}(x-1) \Rightarrow y=-\dfrac{5}{9}x+\dfrac{5}{9}-\dfrac{3}{9}$

La recta tangente es $y=-\dfrac{5}{9}x+\dfrac{2}{9}$.

$\textbf{iii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

El numerador es, salvo la constante 2, la derivada del denominador, así que la integral es de tipo logarítmico.

$\dfrac{d}{dx}\left(x^2-4\right)=2x$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 2:

$\int\dfrac{x}{x^2-4}\,dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2-4}\,dx$

Haciendo uso de $\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$:

$\int\dfrac{x}{x^2-4}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\left|x^2-4\right|+C$