Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un joven estudiante ganó 20000 euros en un concurso cultural y está pensando en invertir al menos el 20% y no más del 50% del premio. Un asesor le aconseja que reparta su inversión en dos carteras (C1 y C2). La cartera C1 tiene un perfil de riesgo audaz y una rentabilidad del 7%, mientras que la cartera C2 tiene un perfil de riesgo moderado y una rentabilidad del 4%. El estudiante decide invertir no más de 8000 euros en la cartera C1 y al menos 3000 euros en la cartera C2. Además, el asesor le recomienda que invierta en C2 una cantidad igual o superior a lo invertido en C1. ¿Cuánto deberá invertir en cada cartera si se desea maximizar la rentabilidad?

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si considerando el perfil de riesgo, el estudiante modifica su idea inicial y decide no invertir más de 2500 euros en la cartera C1. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los euros invertidos en la cartera C1 e $y$ a los invertidos en la cartera C2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Inversión (€)}$	$\text{Rentabilidad (€)}$
Cartera C1 (x)	x	0{,}07x
Cartera C2 (y)	y	0{,}04y
Totales	x+y	0{,}07x+0{,}04y

La función objetivo que se desea maximizar es la rentabilidad:

$R(x,y)=0{,}07x+0{,}04y$

Las restricciones del problema son:

Se invierte al menos el 20 % del premio $\Rightarrow$ $x+y\geq 0{,}20\cdot 20000=4000$.

Se invierte no más del 50 % del premio $\Rightarrow$ $x+y\leq 0{,}50\cdot 20000=10000$.

En la cartera C1 no se invierten más de 8000 euros $\Rightarrow$ $x\leq 8000$.

En la cartera C2 se invierten al menos 3000 euros $\Rightarrow$ $y\geq 3000$.

En C2 se invierte una cantidad igual o superior a lo invertido en C1 $\Rightarrow$ $y\geq x$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 4000\leq x+y\leq 10000 \\ x\leq 8000 \\ y\geq 3000 \\ y\geq x \\ x\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x+y=4000$, $x+y=10000$, $y=3000$ y $y=x$.

La restricción $x\leq 8000$ no llega a cortar a la región: de $y\geq x$ y $x+y\leq 10000$ se deduce $2x\leq 10000$, es decir, $x\leq 5000$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=0$ con $x+y=4000$ $\Rightarrow A(0,4000)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x+y=4000 \\ y=3000 \end{cases} \Rightarrow x=1000 \Rightarrow B(1000,3000)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} y=3000 \\ y=x \end{cases} \Rightarrow C(3000,3000)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} y=x \\ x+y=10000 \end{cases} \Rightarrow 2x=10000 \Rightarrow D(5000,5000)$

Vértice $E$: $x=0$ con $x+y=10000$ $\Rightarrow E(0,10000)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$R(0,4000)=160$

$R(1000,3000)=70+120=190$

$R(3000,3000)=210+120=330$

$R(5000,5000)=350+200=550$

$R(0,10000)=400$

La rentabilidad máxima se produce en el vértice $D(5000,5000)$.

El estudiante debe invertir 5000 euros en la cartera C1 y 5000 euros en la cartera C2, con lo que obtiene una rentabilidad máxima de 550 euros.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si considerando el perfil de riesgo, el estudiante modifica su idea inicial y decide no invertir más de 2500 euros en la cartera C1.}\ (2\ \text{puntos})$

La restricción $x\leq 8000$ se sustituye por $x\leq 2500$, que sí corta a la región y la recorta por la derecha.



Los vértices nuevos son:

$\begin{cases} x=2500 \\ y=3000 \end{cases} \Rightarrow C'(2500,3000); \qquad \begin{cases} x=2500 \\ x+y=10000 \end{cases} \Rightarrow D'(2500,7500)$

Se valora la rentabilidad en los vértices de la nueva región:

$R(0,4000)=160$

$R(1000,3000)=190$

$R(2500,3000)=175+120=295$

$R(2500,7500)=175+300=475$

$R(0,10000)=400$

El óptimo se desplazaría al vértice $D'(2500,7500)$: el estudiante invertiría 2500 euros en C1 y 7500 en C2, y la rentabilidad bajaría de 550 a 475 euros. Es lo esperable, porque la restricción nueva limita justamente la cartera más rentable.