Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.

i) Calcule $A \cdot B^t$ y explique razonadamente si la matriz resultante tiene inversa. (3 puntos)

ii) Determine las matrices $X$ e $Y$ que verifican el sistema: $\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 2Y = B \end{cases}$ (7 puntos)

$\textbf{i) Calcule } \boldsymbol{A \cdot B^t}\textbf{ y explique razonadamente si la matriz resultante tiene inversa.}\ (3\ \text{puntos})$

La matriz $A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B^t$ de dimensión $3\times 2$, luego el producto existe y es una matriz cuadrada de orden 2.

$B^t=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

$A\cdot B^t= \begin{pmatrix} 6-1+0 & -4-4+0 \\ -9+1-5 & 6+4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ -13 & 9 \end{pmatrix}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$|A\cdot B^t|=\begin{vmatrix} 5 & -8 \\ -13 & 9 \end{vmatrix}=45-104=-59\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A\cdot B^t$ sí tiene inversa.

$\textbf{ii) Determine las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{ que verifican el sistema.}\ (7\ \text{puntos})$

Se resuelve el sistema por reducción, tratando las matrices como incógnitas.

$\begin{cases} 2X-3Y=A \\ 3X-2Y=B \end{cases}$

Se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3:

$\begin{cases} 4X-6Y=2A \\ 9X-6Y=3B \end{cases}$

Restando la primera de la segunda:

$5X=3B-2A \Rightarrow X=\dfrac{1}{5}\left(3B-2A\right)$

$3B=\begin{pmatrix} 9 & 3 & 15 \\ -6 & 12 & 3 \end{pmatrix};\qquad 2A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -6 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

$3B-2A=\begin{pmatrix} 5 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 5 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Se sustituye en la primera ecuación para obtener $Y$:

$2X-3Y=A \Rightarrow 3Y=2X-A$

$2X-A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

$Y=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$3X-2Y=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 9 \\ 0 & 6 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}=B$