Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

El salario mensual (en euros) de los jóvenes de un país A sigue una distribución normal con varianza 40.000 euros$^2$, mientras que el salario mensual de los jóvenes de un país B sigue una distribución normal con desviación típica 300 euros. Se tomó una muestra de 169 jóvenes del país A y se obtuvo un salario mensual medio de 1.200 euros. A partir de una muestra de 49 jóvenes del país B, se calculó un salario mensual medio de 1.600 euros.

i) Calcule un intervalo de confianza para el salario mensual medio de los jóvenes del país A y otro para el salario mensual medio de los jóvenes del país B, ambos con un nivel de confianza del 88%. Interprete las soluciones en el contexto del problema. (5 puntos)

ii) Con los datos de la muestra del país B se ha calculado otro intervalo de confianza para el salario mensual medio: $[1.525,\ 1.675]$. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza para el salario mensual medio de los jóvenes del país A y otro para el salario mensual medio de los jóvenes del país B, ambos con un nivel de confianza del 88 \%. Interprete las soluciones en el contexto del problema.}\ (5\ \text{puntos})$

Las dos poblaciones son normales con desviación típica conocida, así que en ambos casos el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 88 % se tiene $\alpha=0{,}12$, luego $\alpha/2=0{,}06$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}06=0{,}94$

Ese valor cae entre dos filas de la tabla, $P(Z<1{,}55)=0{,}9394$ y $P(Z<1{,}56)=0{,}9406$, así que se toma el punto medio $z_{\alpha/2}=1{,}555$.



País A. De la varianza se obtiene la desviación típica $\sigma_A=\sqrt{40000}=200$, con $n_A=169$ y $\overline{x}_A=1200$:

$E_A=1{,}555\cdot\dfrac{200}{\sqrt{169}}=1{,}555\cdot\dfrac{200}{13}=23{,}92$

$1200-23{,}92=1176{,}08;\qquad 1200+23{,}92=1223{,}92$

País B. Con $\sigma_B=300$, $n_B=49$ y $\overline{x}_B=1600$:

$E_B=1{,}555\cdot\dfrac{300}{\sqrt{49}}=1{,}555\cdot\dfrac{300}{7}=66{,}64$

$1600-66{,}64=1533{,}36;\qquad 1600+66{,}64=1666{,}64$

El intervalo al 88 % para el país A es $(1176{,}08;\ 1223{,}92)$ euros y el del país B es $(1533{,}36;\ 1666{,}64)$ euros. Con esa confianza el salario medio del país B es claramente superior al del A, porque los dos intervalos no se solapan. El del país B es además más ancho, porque su muestra es mucho menor y su desviación típica mayor.

$\textbf{ii) Con los datos de la muestra del país B se ha calculado otro intervalo de confianza para el salario mensual medio: } \boldsymbol{[1.525,\ 1.675]}\textbf{. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.}\ (5\ \text{puntos})$

El error máximo es la semiamplitud del intervalo:

$E=\dfrac{1675-1525}{2}=\dfrac{150}{2}=75$

Se despeja el valor crítico de la expresión del error máximo, con $\sigma_B=300$ y $n_B=49$:

$75=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{300}{\sqrt{49}}=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{300}{7}$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{75\cdot 7}{300}=\dfrac{525}{300}=1{,}75$

Se busca ese valor en la tabla de la normal estándar:

$P(Z<1{,}75)=0{,}96 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}96 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}04 \Rightarrow \alpha=0{,}08$



El nivel de confianza del intervalo es $1-\alpha=0{,}92$, es decir, del 92 %. Es coherente con el apartado anterior: al ser más ancho que el del 88 %, corresponde a una confianza mayor.