Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

i) En un concurso se dispone de dos urnas. En la primera urna hay 15 bolas, 6 de ellas premiadas con un viaje, 5 bolas con un premio de 1.000 euros y 4 bolas sin premio. La segunda urna tiene 10 bolas (3 con viaje, 4 con 1.000 euros y 3 sin premio). Un concursante tiene que seleccionar al azar una bola de la primera urna e introducirla en la segunda urna. Tras esto, el concursante tiene que elegir una bola al azar de la segunda urna. Calcule la probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio. (5 puntos)

ii) En una universidad se realizó una encuesta a los estudiantes acerca de sus hábitos de alimentación y ejercicio físico. El 40% realizaban 5 comidas al día y el 70% de los estudiantes hacían ejercicio físico regularmente. El 80% de los estudiantes que realizaban 5 comidas al día hacían ejercicio físico regularmente.

Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que ni realice 5 comidas al día ni haga ejercicio físico regularmente. (3 puntos)

Compruebe si los sucesos "comer 5 comidas al día" y "hacer ejercicio físico regularmente" son o no sucesos independientes. (2 puntos)

$\textbf{i) En un concurso se dispone de dos urnas. En la primera urna hay 15 bolas, 6 de ellas premiadas con un viaje, 5 bolas con un premio de 1.000 euros y 4 bolas sin premio. La segunda urna tiene 10 bolas (3 con viaje, 4 con 1.000 euros y 3 sin premio). Un concursante tiene que seleccionar al azar una bola de la primera urna e introducirla en la segunda urna. Tras esto, el concursante tiene que elegir una bola al azar de la segunda urna. Calcule la probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio.}\ (5\ \text{puntos})$

Lo único que importa de la primera extracción es si la bola que pasa a la segunda urna tiene premio o no, porque eso es lo que cambia la composición de la segunda urna. Se nombran los sucesos:

$S \equiv$ la bola trasladada no tiene premio,
$\overline{S} \equiv$ la bola trasladada sí tiene premio,
$N \equiv$ la bola extraída de la segunda urna no tiene premio.

En la primera urna hay 4 bolas sin premio de un total de 15:

$P(S)=\dfrac{4}{15};\qquad P(\overline{S})=\dfrac{11}{15}$

Tras el traslado la segunda urna tiene 11 bolas. Si la trasladada no tenía premio, pasa a haber 4 bolas sin premio; si tenía premio, siguen siendo 3.

$P(N/S)=\dfrac{4}{11};\qquad P(N/\overline{S})=\dfrac{3}{11}$

Se hace un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(N)=P(S)P(N/S)+P(\overline{S})P(N/\overline{S})=\dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{4}{11}+\dfrac{11}{15}\cdot\dfrac{3}{11}$

$P(N)=\dfrac{16}{165}+\dfrac{33}{165}=\dfrac{49}{165}$

La probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio es $\dfrac{49}{165}\approx 0{,}297$.

$\textbf{ii) Se selecciona un estudiante al azar. Calcule la probabilidad de que ni realice 5 comidas al día ni haga ejercicio físico regularmente.}\ (3\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $C \equiv$ realizar 5 comidas al día y $E \equiv$ hacer ejercicio físico regularmente. Del enunciado:

$P(C)=0{,}4;\qquad P(E)=0{,}7;\qquad P(E/C)=0{,}8$

De la probabilidad condicionada se obtiene la intersección:

$P(C\cap E)=P(C)\cdot P(E/C)=0{,}4\cdot 0{,}8=0{,}32$

$P(C\cup E)=P(C)+P(E)-P(C\cap E)=0{,}4+0{,}7-0{,}32=0{,}78$



Por las leyes de De Morgan, el suceso «ni una cosa ni la otra» es el contrario de la unión:

$P(\overline{C}\cap\overline{E})=1-P(C\cup E)=1-0{,}78=0{,}22$

La probabilidad de que el estudiante ni realice 5 comidas al día ni haga ejercicio físico regularmente es $0{,}22$.

$\textbf{Compruebe si los sucesos "comer 5 comidas al día" y "hacer ejercicio físico regularmente" son o no sucesos independientes.}\ (2\ \text{puntos})$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(C)\cdot P(E)=0{,}4\cdot 0{,}7=0{,}28$

$P(C\cap E)=0{,}32$

Como $0{,}32\neq 0{,}28$, los dos sucesos no son independientes. Dicho de otro modo, entre los que hacen 5 comidas al día la proporción que hace ejercicio es del 80 %, mayor que el 70 % del conjunto de los estudiantes.