Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

El beneficio (en miles de euros) de una pequeña empresa de Navarra varía según la función:

$B(t) = \begin{cases} -t^2 + 8t + 4 & \text{si } 0 \leq t \leq 7 \\ 2t - 3 & \text{si } 7 < t \leq 10 \end{cases}$

siendo $t$ el tiempo transcurrido en meses.

i) ¿Cuál es el beneficio inicial de la empresa? (1 punto)

ii) Estudie la continuidad de $B(t)$, clasificando en su caso los puntos de discontinuidad. (3 puntos)

iii) ¿En qué mes se alcanza el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo? (3 puntos)

iv) Represente la gráfica de la evolución del beneficio de esta empresa. (3 puntos)

$\textbf{i) ¿Cuál es el beneficio inicial de la empresa?}\ (1\ \text{punto})$

El beneficio inicial es el que corresponde a $t=0$, que cae en el primer trozo de la función.

$B(0)=-0^2+8\cdot 0+4=4$

El beneficio inicial de la empresa es de 4 miles de euros, es decir, 4000 euros.

$\textbf{ii) Estudie la continuidad de } \boldsymbol{B(t)}\textbf{, clasificando en su caso los puntos de discontinuidad.}\ (3\ \text{puntos})$

Los dos trozos son polinomios, continuos en todo su dominio, así que solo hay que estudiar el punto de empalme $t=7$.

$\lim_{t\to 7^-}B(t)=\lim_{t\to 7^-}\left(-t^2+8t+4\right)=-49+56+4=11$

$\lim_{t\to 7^+}B(t)=\lim_{t\to 7^+}\left(2t-3\right)=14-3=11$

$B(7)=-49+56+4=11$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, de modo que la función es continua en $t=7$.

La función $B(t)$ es continua en todo su dominio $[0,10]$ y no presenta puntos de discontinuidad: el beneficio evoluciona sin saltos.

$\textbf{iii) ¿En qué mes se alcanza el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo?}\ (3\ \text{puntos})$

Se estudia cada trozo por separado.

En el primer trozo se deriva y se iguala a cero:

$B'(t)=-2t+8 \Rightarrow -2t+8=0 \Rightarrow t=4$

Se estudia el signo de la derivada:

$B'(2)=4>0$, el beneficio crece.

$B'(6)=-4<0$, el beneficio decrece.



Como pasa de crecer a decrecer, en $t=4$ hay un máximo relativo:

$B(4)=-16+32+4=20$

En el segundo trozo la función es una recta de pendiente positiva, así que crece y su mayor valor está en el extremo:

$B(10)=2\cdot 10-3=17$

Se comparan los candidatos: $B(0)=4$, $B(4)=20$, $B(7)=11$ y $B(10)=17$.

El beneficio máximo se alcanza en el mes 4 y es de 20 miles de euros, es decir, 20 000 euros.

$\textbf{iv) Represente la gráfica de la evolución del beneficio de esta empresa.}\ (3\ \text{puntos})$

Con la información anterior se dispone de todo lo necesario: un arco de parábola con ramas hacia abajo desde $(0,4)$ hasta $(7,11)$, con vértice en $(4,20)$, y a continuación un segmento de recta creciente desde $(7,11)$ hasta $(10,17)$, sin salto en el empalme.