Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 3$.

i) Calcule la derivada de la función $g(x)$ en el punto $x = 1$, aplicando la definición de derivada. (3 puntos)

ii) Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. Calcule el área de dicho recinto. (7 puntos)

$\textbf{i) Calcule la derivada de la función } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{, aplicando la definición de derivada.}\ (3\ \text{puntos})$

La definición de derivada en un punto es

$g'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}$

Se calculan las dos imágenes que intervienen:

$g(1)=-1^2+4\cdot 1+3=6$

$g(1+h)=-(1+h)^2+4(1+h)+3=-\left(1+2h+h^2\right)+4+4h+3$

$g(1+h)=-1-2h-h^2+7+4h=6+2h-h^2$

Se forma el cociente incremental y se simplifica:

$\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h}=\dfrac{6+2h-h^2-6}{h}=\dfrac{2h-h^2}{h}=\dfrac{h(2-h)}{h}=2-h$

$g'(1)=\lim_{h\to 0}(2-h)=2$

La derivada de $g(x)$ en $x=1$ vale $2$.

$\textbf{ii) Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. Calcule el área de dicho recinto.}\ (7\ \text{puntos})$

Los límites de integración son los puntos de corte de las dos curvas.

$f(x)=g(x) \Rightarrow x+3=-x^2+4x+3 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$

$\begin{cases} x=0 \\ x=3 \end{cases}$

Entre esos dos valores hay que ver cuál de las dos gráficas va por encima. Tomando un punto intermedio:

$g(1)=6$ y $f(1)=4$, luego $g(x)>f(x)$ en $(0,3)$.

El recinto queda limitado por arriba por la parábola y por abajo por la recta.



El área es la integral de la diferencia:

$A=\int_0^3\left(g(x)-f(x)\right)dx=\int_0^3\left(-x^2+4x+3-x-3\right)dx=\int_0^3\left(-x^2+3x\right)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}\right]_0^3=\left(-9+\dfrac{27}{2}\right)-0=\dfrac{-18+27}{2}=\dfrac{9}{2}$

El área del recinto es $\dfrac{9}{2}=4{,}5$ unidades de área.