Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa utiliza dos máquinas distintas (M1 y M2) para fabricar tres tipos de láminas de acero (rayada, lisa y doblemente rayada). Una hora de trabajo de la máquina M1 fabrica 10 metros de lámina rayada, 50 metros de lámina lisa y 10 metros de lámina doblemente rayada. Una hora de trabajo de la máquina M2 fabrica 40 metros de lámina rayada, 20 metros de lámina lisa y 10 metros de lámina doblemente rayada. Cada hora de trabajo de las máquinas M1 y M2 tiene un coste de 800 euros y 100 euros, respectivamente. Sabiendo que la empresa tiene una demanda diaria de al menos 240 metros de lámina rayada, 300 metros de lámina lisa y 120 metros de lámina doblemente rayada, calcule cuántas horas deberá trabajar al día cada máquina para minimizar el coste de fabricación.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si la demanda diaria de la lámina de acero lisa aumenta en 100 metros más respecto de la demanda actual. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a las horas diarias de trabajo de la máquina M1 e $y$ a las de la máquina M2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Lámina rayada (m)}$	$\text{Lámina lisa (m)}$	$\text{Doblemente rayada (m)}$	$\text{Coste (€)}$
Máquina M1 (x)	10x	50x	10x	800x
Máquina M2 (y)	40y	20y	10y	100y
Totales	10x+40y	50x+20y	10x+10y	800x+100y

La función objetivo que se desea minimizar es el coste diario de fabricación:

$C(x,y)=800x+100y$

Las restricciones del problema son:

Se demandan al menos 240 metros de lámina rayada $\Rightarrow$ $10x+40y\geq 240$, que simplificando entre 10 queda $x+4y\geq 24$.

Se demandan al menos 300 metros de lámina lisa $\Rightarrow$ $50x+20y\geq 300$, que simplificando entre 10 queda $5x+2y\geq 30$.

Se demandan al menos 120 metros de lámina doblemente rayada $\Rightarrow$ $10x+10y\geq 120$, que simplificando entre 10 queda $x+y\geq 12$.

Las horas no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+4y\geq 24 \\ 5x+2y\geq 30 \\ x+y\geq 12 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul y no está acotada.

$x+4y=24$, $5x+2y=30$ y $x+y=12$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: corte de $5x+2y=30$ con el eje $OY$, es decir, $x=0$ $\Rightarrow 2y=30 \Rightarrow A(0,15)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} 5x+2y=30 \\ x+y=12 \end{cases} \Rightarrow 5(12-y)+2y=30 \Rightarrow 60-3y=30 \Rightarrow y=10 \Rightarrow x=2 \Rightarrow B(2,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x+4y=24 \\ x+y=12 \end{cases} \Rightarrow 3y=12 \Rightarrow y=4 \Rightarrow x=8 \Rightarrow C(8,4)$

Vértice $D$: corte de $x+4y=24$ con el eje $OX$, es decir, $y=0$ $\Rightarrow D(24,0)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$C(0,15)=100\cdot 15=1500$

$C(2,10)=1600+1000=2600$

$C(8,4)=6400+400=6800$

$C(24,0)=800\cdot 24=19200$

Al alejarse del origen por cualquiera de las dos semirrectas no acotadas el coste crece, así que el mínimo se alcanza en un vértice, y es el vértice $A(0,15)$.

La máquina M1 no debe trabajar y la máquina M2 debe trabajar 15 horas diarias, con un coste mínimo de 1500 euros al día. Con esa producción se fabrican $40\cdot 15=600$ metros de lámina rayada, $20\cdot 15=300$ de lisa y $10\cdot 15=150$ de doblemente rayada, cubriendo las tres demandas.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si la demanda diaria de la lámina de acero lisa aumenta en 100 metros más respecto de la demanda actual.}\ (2\ \text{puntos})$

La demanda de lámina lisa pasaría a ser de 400 metros, con lo que la segunda restricción se convierte en

$50x+20y\geq 400 \Rightarrow 5x+2y\geq 40$

La recta se desplaza paralelamente hacia arriba y la región factible se reduce.



El vértice sobre el eje $OY$ pasa a ser $A'(0,20)$, y el corte con $x+y=12$ se desplaza a

$\begin{cases} 5x+2y=40 \\ x+y=12 \end{cases} \Rightarrow 60-3y=40 \Rightarrow y=\dfrac{20}{3} \Rightarrow x=\dfrac{16}{3} \Rightarrow B'\left(\dfrac{16}{3},\dfrac{20}{3}\right)$

Se valora el coste en los nuevos vértices:

$C(0,20)=2000$

$C\left(\dfrac{16}{3},\dfrac{20}{3}\right)=\dfrac{12800+2000}{3}=\dfrac{14800}{3}\approx 4933{,}33$

$C(8,4)=6800$

$C(24,0)=19200$

El óptimo seguiría estando sobre el eje $OY$, en $A'(0,20)$: la máquina M2 tendría que trabajar 20 horas diarias en lugar de 15 y el coste mínimo subiría de 1500 a 2000 euros al día.