Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss. (7 puntos)

$\begin{cases} x + y + 3z = 1 \\ 4x + 3y + 5z = 5 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}$

ii) Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}$. Determine el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que el producto de ambas matrices conmute. (3 puntos)

$\textbf{i) Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.}\ (7\ \text{puntos})$

Se escribe la matriz ampliada del sistema y se triangula.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & 5 & 5 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right)$

Se hacen ceros en la primera columna con $F_2-4F_1$ y $F_3-2F_1$:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -7 & 1 \\ 0 & -1 & -7 & 1 \end{array}\right)$

Las filas segunda y tercera son iguales, así que con $F_3-F_2$ desaparece una de ellas:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

El rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada valen los dos 2, y el número de incógnitas es 3:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Se toma $z=\lambda$ y se despeja de abajo arriba.

De la segunda ecuación:

$-y-7\lambda=1 \Rightarrow y=-1-7\lambda$

De la primera:

$x+y+3\lambda=1 \Rightarrow x=1-(-1-7\lambda)-3\lambda=2+4\lambda$

La solución del sistema es

$\begin{cases} x=2+4\lambda \\ y=-1-7\lambda \\ z=\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{ii) Sean las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}}\textbf{. Determine el valor que debe tomar el parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{ para que el producto de ambas matrices conmute.}\ (3\ \text{puntos})$

Que el producto conmute significa que $AB=BA$, así que se calculan los dos productos y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12-k & -6+6 \\ -4+2k & -2-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12-k & 0 \\ -4+2k & -14 \end{pmatrix}$

$B\cdot A= \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12-2 & 4-4 \\ 3k-6 & -k-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 0 \\ 3k-6 & -k-12 \end{pmatrix}$

Igualando las dos matrices:

$\begin{cases} -12-k=-14 \\ -4+2k=3k-6 \\ -14=-k-12 \end{cases}$

De la primera ecuación, $k=2$; de la segunda, $-4+6=2$ y $3\cdot 2-6=0$... se comprueba directamente que $k=2$ satisface las tres.

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B=B\cdot A=\begin{pmatrix} -14 & 0 \\ 0 & -14 \end{pmatrix}$

El parámetro debe valer $k=2$.