Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A partir de una muestra de 200 jóvenes entre 18 y 25 años, se observó que 50 no usan transporte público.

i) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan transporte público, con un nivel de confianza del 96%. Interprete la solución en el contexto del problema. (5 puntos)

ii) Calcule el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo se reduzca a la tercera parte, con un nivel de confianza del 98%. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan transporte público, con un nivel de confianza del 96 \%. Interprete la solución en el contexto del problema.}\ (5\ \text{puntos})$

De los 200 jóvenes de la muestra, 50 no usan transporte público, luego lo usan $200-50=150$.

$\hat{p}=\dfrac{150}{200}=0{,}75$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 96 % se tiene $\alpha=0{,}04$, luego $\alpha/2=0{,}02$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}02=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



$E=2{,}05\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}75\cdot 0{,}25}{200}}=2{,}05\cdot\sqrt{0{,}0009375}=2{,}05\cdot 0{,}0306=0{,}0628$

Los extremos del intervalo son:

$0{,}75-0{,}0628=0{,}6872$

$0{,}75+0{,}0628=0{,}8128$

El intervalo de confianza al 96 % es $(0{,}6872;\ 0{,}8128)$. Si se repitiera muchas veces el muestreo de 200 jóvenes, el 96 % de los intervalos construidos así contendría la proporción real de jóvenes que usan transporte público, que se estima entre el 68,72 % y el 81,28 %.

$\textbf{ii) Calcule el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo se reduzca a la tercera parte, con un nivel de confianza del 98 \%.}\ (5\ \text{puntos})$

La amplitud del intervalo anterior es el doble de su error máximo:

$A=2E=2\cdot 0{,}0628=0{,}1255$

Se quiere una amplitud tres veces menor:

$A'=\dfrac{A}{3}=\dfrac{0{,}1255}{3}=0{,}0418 \Rightarrow E'=\dfrac{A'}{2}=0{,}0209$

Con un nivel de confianza del 98 % se tiene $\alpha/2=0{,}01$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}99 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}33$

Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error máximo:

$E'=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}} \Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E'}\right)^2\hat{p}\,(1-\hat{p})$

$n=\left(\dfrac{2{,}33}{0{,}0209}\right)^2\cdot 0{,}75\cdot 0{,}25=\left(111{,}48\right)^2\cdot 0{,}1875=2325{,}3$

Como el tamaño muestral tiene que ser un número entero y el error no debe superar el fijado, se redondea hacia arriba.

Habría que tomar una muestra de al menos $2\,326$ jóvenes.