Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En una prueba de evaluación sorpresa para 50 estudiantes, 20 de ellos hacen una prueba tipo test y 30 de ellos resuelven un problema. El 90% de los estudiantes que hacen la prueba tipo test han aprobado y 24 estudiantes que resuelven un problema han aprobado.

i) Se elige al azar un estudiante. Calcule la probabilidad de que no haya aprobado. (2 puntos)

ii) Se elige al azar un estudiante. Si el estudiante ha aprobado, ¿qué es más probable, que haya hecho un examen tipo test o un problema? Calcule dicha probabilidad. (4 puntos)

iii) Se elige un estudiante de examen tipo test y otro estudiante de examen con problema. Calcule la probabilidad de que los dos hayan aprobado. (4 puntos)

$\textbf{i) Se elige al azar un estudiante. Calcule la probabilidad de que no haya aprobado.}\ (2\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $T \equiv$ hacer la prueba tipo test, $P \equiv$ resolver un problema y $A \equiv$ aprobar.

De los 20 estudiantes que hacen el test aprueba el 90 %, es decir, $0{,}9\cdot 20=18$ estudiantes, y de los 30 que resuelven un problema aprueban 24, o sea, la proporción $\dfrac{24}{30}=0{,}8$.

Se hace un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(A)=P(T)P(A/T)+P(P)P(A/P)=\dfrac{20}{50}\cdot 0{,}9+\dfrac{30}{50}\cdot 0{,}8$

$P(A)=0{,}36+0{,}48=0{,}84$

También se ve contando directamente: aprueban $18+24=42$ de los 50 estudiantes.

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}84=0{,}16$

La probabilidad de que el estudiante elegido no haya aprobado es $0{,}16$.

$\textbf{ii) Se elige al azar un estudiante. Si el estudiante ha aprobado, ¿qué es más probable, que haya hecho un examen tipo test o un problema? Calcule dicha probabilidad.}\ (4\ \text{puntos})$

Se comparan las dos probabilidades condicionadas aplicando el teorema de Bayes.

$P(T/A)=\dfrac{P(T)P(A/T)}{P(A)}=\dfrac{0{,}36}{0{,}84}=\dfrac{18}{42}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}4286$

$P(P/A)=\dfrac{P(P)P(A/P)}{P(A)}=\dfrac{0{,}48}{0{,}84}=\dfrac{24}{42}=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

Como $\dfrac{4}{7}>\dfrac{3}{7}$, es más probable que el estudiante haya resuelto un problema, con probabilidad $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$.

$\textbf{iii) Se elige un estudiante de examen tipo test y otro estudiante de examen con problema. Calcule la probabilidad de que los dos hayan aprobado.}\ (4\ \text{puntos})$

Ahora cada estudiante se elige dentro de su grupo, así que las dos elecciones son independientes y las probabilidades se multiplican.

$P(\text{los dos aprueban})=\dfrac{18}{20}\cdot\dfrac{24}{30}=0{,}9\cdot 0{,}8=0{,}72$

La probabilidad de que los dos estudiantes elegidos hayan aprobado es $0{,}72$.