Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere la función $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

i) Calcule los puntos de corte con los ejes. (1 punto)

ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (3 puntos)

iii) Dibuje el recinto limitado por la función $f(x)$, el eje OX y las rectas $x=-2$ y $x=2$. (2 puntos)

iv) Calcule el área de dicho recinto. (4 puntos)

$\textbf{i) Calcule los puntos de corte con los ejes.}\ (1\ \text{punto})$

Corte con el eje $OY$: se hace $x=0$.

$f(0)=-0+0+3=3 \Rightarrow (0,3)$

Cortes con el eje $OX$: se hace $f(x)=0$.

$-x^2+2x+3=0 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}$

$\begin{cases} x=-1 \\ x=3 \end{cases}$

Los puntos de corte son $(0,3)$ con el eje de ordenadas y $(-1,0)$ y $(3,0)$ con el eje de abscisas.

$\textbf{ii) Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.}\ (3\ \text{puntos})$

Se deriva la función y se iguala a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=-2x+2$

$f'(x)=0 \Rightarrow -2x+2=0 \Rightarrow x=1$

Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro:

$f'(0)=2>0$, la función crece.

$f'(2)=-2<0$, la función decrece.



La función crece en $(-\infty,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=1$ hay un máximo relativo. Su ordenada es

$f(1)=-1+2+3=4$

El máximo relativo está en el punto $(1,4)$, que es el vértice de la parábola. No hay mínimos relativos.

$\textbf{iii) Dibuje el recinto limitado por la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje OX y las rectas } \boldsymbol{x=-2}\textbf{ y } \boldsymbol{x=2}\textbf{.}\ (2\ \text{puntos})$

Con los cortes y el vértice ya calculados se dibuja la parábola, que tiene las ramas hacia abajo, y se marcan las dos rectas verticales. El recinto queda partido en dos trozos por el corte $x=-1$: entre $x=-2$ y $x=-1$ la curva va por debajo del eje $OX$ y entre $x=-1$ y $x=2$ va por encima.



$\textbf{iv) Calcule el área de dicho recinto.}\ (4\ \text{puntos})$

Como la función cambia de signo dentro del intervalo, hay que calcular las dos integrales por separado y sumar sus valores absolutos.

Una primitiva de la función es

$F(x)=\int\left(-x^2+2x+3\right)dx=-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x$

Primer trozo, donde la función es negativa:

$\int_{-2}^{-1}\left(-x^2+2x+3\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-2}^{-1}$

$=\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)-\left(\dfrac{8}{3}+4-6\right)=-\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{7}{3}$

Segundo trozo, donde la función es positiva:

$\int_{-1}^{2}\left(-x^2+2x+3\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{2}$

$=\left(-\dfrac{8}{3}+4+6\right)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=\dfrac{22}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{27}{3}=9$

El área es la suma de los valores absolutos:

$A=\left|-\dfrac{7}{3}\right|+9=\dfrac{7}{3}+9=\dfrac{34}{3}$

El área del recinto es $\dfrac{34}{3}\approx 11{,}33$ unidades de área.