Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Considere la función $f(x) = \sqrt{5 + x^2}$.

i) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = -2$. (4 puntos)

ii) Calcule $\displaystyle\int x \cdot f(x)\,dx$. (3 puntos)

iii) Calcule la derivada de la función $g(x) = 6\ln(5-3x) + 3x^2 \operatorname{sen}(7x-5)$. (3 puntos)

$\textbf{i) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{x = -2}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta la ordenada y la pendiente en $x=-2$.

$f(-2)=\sqrt{5+(-2)^2}=\sqrt{9}=3$

Se deriva la función como una raíz compuesta, con $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{5+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{5+x^2}}$

$f'(-2)=\dfrac{-2}{\sqrt{9}}=-\dfrac{2}{3}$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y-3=-\dfrac{2}{3}\left(x+2\right) \Rightarrow y=-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}+3$

La recta tangente es $y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$.

$\textbf{ii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int x \cdot f(x)\,dx}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

La integral es

$\int x\sqrt{5+x^2}\,dx=\int x\left(5+x^2\right)^{1/2}dx$

El factor $x$ es, salvo la constante 2, la derivada de $5+x^2$, así que se trata de una integral inmediata de tipo potencia. Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 2:

$\int x\left(5+x^2\right)^{1/2}dx=\dfrac{1}{2}\int 2x\left(5+x^2\right)^{1/2}dx =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(5+x^2\right)^{3/2}}{3/2}$

$\int x\sqrt{5+x^2}\,dx=\dfrac{1}{3}\sqrt{\left(5+x^2\right)^3}+C$

$\textbf{iii) Calcule la derivada de la función } \boldsymbol{g(x) = 6\ln(5-3x) + 3x^2 \operatorname{sen}(7x-5)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Se deriva sumando por sumando. El primero es un logaritmo compuesto y el segundo un producto en el que el segundo factor también es compuesto.

$\left(6\ln(5-3x)\right)'=6\cdot\dfrac{-3}{5-3x}=\dfrac{-18}{5-3x}$

Para el segundo sumando se aplica la regla del producto:

$\left(3x^2\operatorname{sen}(7x-5)\right)'=6x\operatorname{sen}(7x-5)+3x^2\cos(7x-5)\cdot 7$

$=6x\operatorname{sen}(7x-5)+21x^2\cos(7x-5)$

Sumando los dos resultados:

$g'(x)=\dfrac{-18}{5-3x}+6x\operatorname{sen}(7x-5)+21x^2\cos(7x-5)$