Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa produce un tipo de pintura que vende en el mercado nacional, con un beneficio unitario de 10.000 euros/tonelada. Esta empresa se está planteando introducir su producto en el mercado internacional, ya que el beneficio unitario se duplica en dicho mercado. La empresa no se plantea aumentar su capacidad actual de producción de 80 toneladas mensuales.

Por temor a perder la clientela nacional, la empresa ha decidido destinar mensualmente a este mercado al menos el 75% de la producción total. Además, un cliente del mercado internacional ha solicitado a la empresa un pedido de 10 toneladas mensuales, por lo que se ha decidido destinar mensualmente al mercado internacional al menos dicha cantidad.

Determine la cantidad mensual que se deberá destinar a cada uno de los dos mercados, si la empresa desea maximizar el beneficio mensual.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si el beneficio de la pintura en el mercado nacional se incrementa a 20.000 euros/tonelada. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a las toneladas mensuales destinadas al mercado nacional e $y$ a las destinadas al mercado internacional.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Toneladas}$	$\text{Beneficio mensual (€)}$
Mercado nacional (x)	x	10000x
Mercado internacional (y)	y	20000y
Totales	x+y	10000x+20000y

El beneficio unitario se duplica en el mercado internacional, así que allí es de $20\,000$ euros por tonelada. La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio mensual:

$B(x,y)=10000x+20000y$

Las restricciones del problema son:

La capacidad de producción es de 80 toneladas mensuales $\Rightarrow$ $x+y\leq 80$.

Al mercado nacional se destina al menos el 75 % de la producción total $\Rightarrow$ $x\geq 0{,}75(x+y)$, que simplificando queda $0{,}25x\geq 0{,}75y$, es decir, $x\geq 3y$.

Al mercado internacional se destinan al menos 10 toneladas $\Rightarrow$ $y\geq 10$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\leq 80 \\ x\geq 3y \\ y\geq 10 \\ x\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x+y=80 \Rightarrow y=80-x$, $x=3y$ y $y=10$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} y=10 \\ x=3y \end{cases} \Rightarrow x=30 \Rightarrow A(30,10)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} y=10 \\ x+y=80 \end{cases} \Rightarrow x=70 \Rightarrow B(70,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x=3y \\ x+y=80 \end{cases} \Rightarrow 3y+y=80 \Rightarrow y=20 \Rightarrow x=60 \Rightarrow C(60,20)$

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$B(30,10)=300000+200000=500000$

$B(70,10)=700000+200000=900000$

$B(60,20)=600000+400000=1000000$

El beneficio máximo se produce en el vértice $C(60,20)$.

La empresa debe destinar 60 toneladas mensuales al mercado nacional y 20 al internacional, con lo que obtiene un beneficio mensual máximo de $1\,000\,000$ euros. Con ese reparto se agota la capacidad de producción y el mercado nacional recibe exactamente el 75 % del total.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si el beneficio de la pintura en el mercado nacional se incrementa a 20.000 euros/tonelada.}\ (2\ \text{puntos})$

La región factible no cambia, porque las restricciones son las mismas. Lo que cambia es la función objetivo, que pasa a ser

$B(x,y)=20000x+20000y=20000\,(x+y)$

Ahora las rectas de nivel $20000(x+y)=k$ son paralelas a la restricción $x+y=80$, que es justamente la arista que une los vértices $B(70,10)$ y $C(60,20)$. Se valora la nueva función objetivo en los vértices:

$B(30,10)=600000+200000=800000$

$B(70,10)=1400000+200000=1600000$

$B(60,20)=1200000+400000=1600000$

Los dos vértices $B$ y $C$ dan el mismo valor máximo, así que la solución deja de ser única: el máximo se alcanza en todos los puntos del segmento que los une, es decir, en cualquier reparto que agote las 80 toneladas de capacidad respetando el resto de condiciones. El beneficio mensual máximo pasaría a ser de $1\,600\,000$ euros.