Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$.

i) Razone qué dimensión debe tener una matriz $D$, para que $(B^t \cdot D)$ sea una matriz columna. (2 puntos)

ii) Calcule $A \cdot B$. (2 puntos)

iii) Despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $ABX - C = I$, siendo $I$ la matriz identidad. (6 puntos)

$\textbf{i) Razone qué dimensión debe tener una matriz } \boldsymbol{D}\textbf{, para que } \boldsymbol{(B^t \cdot D)}\textbf{ sea una matriz columna.}\ (2\ \text{puntos})$

La matriz $B$ es de dimensión $3\times 2$, así que su traspuesta $B^t$ es de dimensión $2\times 3$.

Para que el producto $B^t\cdot D$ se pueda hacer, el número de columnas de $B^t$ debe coincidir con el número de filas de $D$, de modo que $D$ ha de tener 3 filas.

Si $D$ es de dimensión $3\times p$, el producto es de dimensión $2\times p$. Una matriz columna tiene una sola columna, luego $p=1$.

La matriz $D$ debe ser de dimensión $3\times 1$, es decir, una matriz columna de tres elementos.

$\textbf{ii) Calcule } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{.}\ (2\ \text{puntos})$

$A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B$ de dimensión $3\times 2$, luego el producto existe y es de dimensión $2\times 2$.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 3\cdot 2+(-2)\cdot 1+1\cdot(-1) & 3\cdot 1+(-2)\cdot 0+1\cdot(-1) \\ 0\cdot 2+2\cdot 1+(-1)\cdot(-1) & 0\cdot 1+2\cdot 0+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 6-2-1 & 3-1 \\ 2+1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{iii) Despeje y calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica la ecuación } \boldsymbol{ABX - C = I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad.}\ (6\ \text{puntos})$

Se despeja $X$. Como el producto $AB$ multiplica a $X$ por la izquierda, hay que multiplicar por su inversa también por la izquierda.

$ABX-C=I \Rightarrow (AB)X=I+C \Rightarrow (AB)^{-1}(AB)X=(AB)^{-1}(I+C)$

$X=(AB)^{-1}\cdot(I+C)$

Se calcula la inversa de $AB$. Su determinante es

$|AB|=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=3\cdot 1-2\cdot 3=-3\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $AB$ tiene inversa.

$(AB)^{-1}=\dfrac{1}{|AB|}\left(\operatorname{Adj}(AB)\right)^t =-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

Se calcula la suma:

$I+C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

Se calcula la matriz $X$:

$X=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} =-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2+4 & 0 \\ -6-6 & 0 \end{pmatrix} =-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ -12 & 0 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$ABX-C=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$