Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

i) Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80% de los jóvenes contestaron que no escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93%. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos). (5 puntos)

ii) Dado el siguiente intervalo de confianza al 97% para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, $[67.4050,\ 82.5950]$, determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1225. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\textbf{i) Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80 \% de los jóvenes contestaron que no escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93 \%. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos).}\ (5\ \text{puntos})$

Se cuentan primero los encuestados que sí escuchan música clásica.

De los 175 adultos, 100 contestaron que no, luego $175-100=75$ adultos sí escuchan.

De los 150 jóvenes, el 80 % contestó que no, luego el 20 % sí escucha: $0{,}20\cdot 150=30$ jóvenes.

$n=175+150=325;\qquad \hat{p}=\dfrac{75+30}{325}=\dfrac{105}{325}=0{,}3231$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, luego $\alpha/2=0{,}035$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}035=0{,}965 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$E=1{,}81\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}3231\cdot 0{,}6769}{325}}=1{,}81\cdot\sqrt{0{,}0007}=1{,}81\cdot 0{,}0259=0{,}0470$

Los extremos del intervalo son:

$0{,}3231-0{,}0470=0{,}2761$

$0{,}3231+0{,}0470=0{,}3701$

El intervalo de confianza al 93 % es $(0{,}2761;\ 0{,}3701)$. Si se repitiera muchas veces el muestreo de 325 habitantes, el 93 % de los intervalos construidos así contendría la proporción real de habitantes que escuchan música clásica, que se estima entre el 27,61 % y el 37,01 %.

$\textbf{ii) Dado el siguiente intervalo de confianza al 97 \% para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, } \boldsymbol{[67{,}4050,\ 82{,}5950]}\textbf{, determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1225.}\ (5\ \text{puntos})$

El error máximo es la semiamplitud del intervalo:

$E=\dfrac{82{,}5950-67{,}4050}{2}=\dfrac{15{,}19}{2}=7{,}595$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{1225}=35$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error máximo:

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}=\dfrac{2{,}17\cdot 35}{7{,}595}=\dfrac{75{,}95}{7{,}595}=10$

$n=10^2=100$

El tamaño muestral utilizado fue de 100 estudiantes.