Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

i) Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{3x^2+1}{9-x^2}$ y estudie la posición de la función respecto a ellas. (5 puntos)

ii) Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{2x^3-3x+5}{x}$ que cumpla $F(1) = 1$. (5 puntos)

$\textbf{i) Calcule las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{3x^2+1}{9 - x^2}}\textbf{ y estudie la posición de la función respecto a ellas.}\ (5\ \text{puntos})$

Asíntotas verticales. Se buscan los valores que anulan el denominador:

$9-x^2=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$

En ninguno de los dos se anula el numerador, así que ambos dan asíntota vertical.

$\lim_{x\to 3^-}\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}=\dfrac{28}{0^+}=+\infty;\qquad \lim_{x\to 3^+}\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}=\dfrac{28}{0^-}=-\infty$

$\lim_{x\to-3^-}\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}=\dfrac{28}{0^-}=-\infty;\qquad \lim_{x\to-3^+}\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}=\dfrac{28}{0^+}=+\infty$

Las rectas $x=-3$ y $x=3$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}=\dfrac{3}{-1}=-3$

La recta $y=-3$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay asíntota oblicua.

Para estudiar la posición respecto a la asíntota horizontal se calcula la diferencia:

$f(x)-(-3)=\dfrac{3x^2+1}{9-x^2}+3=\dfrac{3x^2+1+27-3x^2}{9-x^2}=\dfrac{28}{9-x^2}$

El numerador es siempre positivo, así que el signo lo marca el denominador:

Si $-3<x<3$, entonces $9-x^2>0$ y $f(x)>-3$: la función va por encima de la asíntota.

Si $|x|>3$, entonces $9-x^2<0$ y $f(x)<-3$: la función va por debajo de la asíntota, tanto cuando $x\to+\infty$ como cuando $x\to-\infty$.



$\textbf{ii) Calcule la primitiva } \boldsymbol{F(x)}\textbf{ de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{2x^3-3x+5}{x}}\textbf{ que cumpla } \boldsymbol{F(1) = 1}\textbf{.}\ (5\ \text{puntos})$

Antes de integrar se divide término a término entre $x$:

$f(x)=\dfrac{2x^3}{x}-\dfrac{3x}{x}+\dfrac{5}{x}=2x^2-3+\dfrac{5}{x}$

Se integra sumando a sumando:

$F(x)=\int\left(2x^2-3+\dfrac{5}{x}\right)dx=\dfrac{2x^3}{3}-3x+5\ln|x|+C$

Se determina la constante con la condición $F(1)=1$:

$F(1)=\dfrac{2}{3}-3+5\ln 1+C=\dfrac{2}{3}-3+C=1$

$C=1+3-\dfrac{2}{3}=4-\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$

La primitiva pedida es

$F(x)=\dfrac{2x^3}{3}-3x+5\ln|x|+\dfrac{10}{3}$