Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa dedicada a la comercialización de vino dispone de un terreno cultivable para plantar dos tipos de uva (negra y blanca). El beneficio anual por hectárea dedicada a la plantación de uva negra es de 10000 € y el de cada hectárea dedicada a la plantación de uva blanca es de 7000 €. Siguiendo las recomendaciones de las cooperativas del sector, la parte dedicada a la plantación de uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas, y la parte dedicada a uva blanca entre 7 y 15 hectáreas. Además, se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. Sabiendo que no puede cultivar más de 30 hectáreas en total, determine cuántas hectáreas dedicar a cada tipo de uva si se desea maximizar el beneficio anual.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a las hectáreas dedicadas a la uva negra e $y$ a las dedicadas a la uva blanca.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Hectáreas}$	$\text{Beneficio anual (€)}$
Uva negra (x)	x	10000x
Uva blanca (y)	y	7000y
Totales	x+y	10000x+7000y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio anual:

$B(x,y)=10000x+7000y$

Las restricciones del problema son:

La parte dedicada a uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas $\Rightarrow$ $10\leq x\leq 25$.

La parte dedicada a uva blanca debe estar entre 7 y 15 hectáreas $\Rightarrow$ $7\leq y\leq 15$.

A la uva negra no se le dedica más del doble de hectáreas que a la blanca $\Rightarrow$ $x\leq 2y$.

No se pueden cultivar más de 30 hectáreas en total $\Rightarrow$ $x+y\leq 30$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 10\leq x\leq 25 \\ 7\leq y\leq 15 \\ x\leq 2y \\ x+y\leq 30 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x=10$, $x=25$, $y=7$, $y=15$, $x=2y$ y $x+y=30$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$: $x=10$ con $y=7$ $\Rightarrow A(10,7)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} y=7 \\ x=2y \end{cases} \Rightarrow x=14 \Rightarrow B(14,7)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x=2y \\ x+y=30 \end{cases} \Rightarrow 2y+y=30 \Rightarrow y=10 \Rightarrow x=20 \Rightarrow C(20,10)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} x+y=30 \\ y=15 \end{cases} \Rightarrow x=15 \Rightarrow D(15,15)$

Vértice $E$: $x=10$ con $y=15$ $\Rightarrow E(10,15)$.

La restricción $x\leq 25$ no llega a cortar a la región, porque $x+y\leq 30$ junto con $y\geq 7$ ya obliga a que $x\leq 23$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$B(10,7)=100000+49000=149000$

$B(14,7)=140000+49000=189000$

$B(20,10)=200000+70000=270000$

$B(15,15)=150000+105000=255000$

$B(10,15)=100000+105000=205000$

El beneficio máximo se produce en el vértice $C(20,10)$.

La empresa debe dedicar 20 hectáreas a la uva negra y 10 a la uva blanca, con lo que obtiene un beneficio anual máximo de $270\,000$ euros. Con ese reparto se cultivan las 30 hectáreas disponibles y la uva negra ocupa exactamente el doble que la blanca.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca.}\ (2\ \text{puntos})$

Al eliminar la restricción $x\leq 2y$ la región factible se amplía hacia la derecha, hasta el corte de $y=7$ con $x+y=30$.



$\begin{cases} y=7 \\ x+y=30 \end{cases} \Rightarrow x=23 \Rightarrow F(23,7)$

La nueva región factible es el cuadrilátero de vértices $A(10,7)$, $F(23,7)$, $D(15,15)$ y $E(10,15)$. Se valora en ellos la función objetivo:

$B(10,7)=149000$

$B(23,7)=230000+49000=279000$

$B(15,15)=255000$

$B(10,15)=205000$

El óptimo se desplazaría al vértice $F(23,7)$: la empresa dedicaría 23 hectáreas a la uva negra y 7 a la blanca, y el beneficio anual subiría de $270\,000$ a $279\,000$ euros. Es coherente con el planteamiento, porque la uva negra es la más rentable y la restricción eliminada era justamente la que limitaba su superficie.