Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} a & -4 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}$.

i) Determine los valores del parámetro $a$ para los cuales $A$ tiene inversa. (2 puntos)

ii) Para $a = 2$, calcule la matriz inversa $A^{-1}$. (3 puntos)

iii) Para $a = 2$, despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $XA + I = B^t \cdot C$, siendo $I$ la matriz identidad. (5 puntos)

$\textbf{i) Determine los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa.}\ (2\ \text{puntos})$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|= \begin{vmatrix} a & -4 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} =a\begin{vmatrix} a & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} +4\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} +0$

$|A|=a(a+1)+4(0-3)=a^2+a-12$

Se busca cuándo se anula:

$a^2+a-12=0 \Rightarrow a=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\dfrac{-1\pm 7}{2} \Rightarrow \begin{cases} a=-4 \\ a=3 \end{cases}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor de $a$ distinto de $-4$ y de $3$.

$\textbf{ii) Para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, calcule la matriz inversa } \boldsymbol{A^{-1}}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Con $a=2$ la matriz es

$A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Se calcula la inversa por el método de los adjuntos.

1) El determinante, con la expresión del apartado anterior:

$|A|=2^2+2-12=-6\neq 0$

2) La matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\[6pt] -\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\[6pt] \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -6 \\ 4 & 2 & -10 \\ -4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

3) Su traspuesta:

$\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t= \begin{pmatrix} 3 & 4 & -4 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -10 & 4 \end{pmatrix}$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t =-\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 4 & -4 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -10 & 4 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} -3 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 10 & -4 \end{pmatrix}$

$\textbf{iii) Para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, despeje y calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica la ecuación } \boldsymbol{XA + I = B^t \cdot C}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad.}\ (5\ \text{puntos})$

Se despeja $X$. Como $A$ multiplica a $X$ por la derecha, hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

$XA+I=B^tC \Rightarrow XA=B^tC-I \Rightarrow XAA^{-1}=\left(B^tC-I\right)A^{-1}$

$X=\left(B^tC-I\right)\cdot A^{-1}$

Se calcula el producto $B^tC$, de una matriz $3\times 1$ por una $1\times 3$, que da una matriz $3\times 3$:

$B^tC= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 10 & 2 \\ 1 & -5 & -1 \end{pmatrix}$

$B^tC-I= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 10 & 2 \\ 1 & -5 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 1 & -5 & -2 \end{pmatrix}$

Se multiplica por la inversa calculada en el apartado anterior:

$X= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 1 & -5 & -2 \end{pmatrix} \cdot \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} -3 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 10 & -4 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 4 & -4 \\ -9 & 10 & 2 \\ 0 & -14 & 2 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot A+I= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 10 & 2 \\ 1 & -5 & -1 \end{pmatrix} =B^tC$