Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

El tiempo (en días) que los jóvenes de una región tardan en encontrar un trabajo relacionado con sus estudios universitarios sigue una distribución normal con varianza de 2500 días$^2$. Se seleccionó una muestra de jóvenes universitarios, obteniéndose los siguientes días: 101, 200, 187, 69, 237, 125, 173, 235, 24, 60.

i) Calcule un intervalo de confianza al 92% para el tiempo medio en encontrar ese tipo de trabajo. Interprete la solución en el contexto del problema. (5 puntos)

ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado otro intervalo de confianza, con una amplitud de 68.62143 días. Calcule el nivel de confianza del nuevo intervalo, justificando su respuesta. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).

$\textbf{i) Calcule un intervalo de confianza al 92 \% para el tiempo medio en encontrar ese tipo de trabajo. Interprete la solución en el contexto del problema.}\ (5\ \text{puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{2500}=50$

Se calcula la media de los diez datos de la muestra:

$\overline{x}=\dfrac{101+200+187+69+237+125+173+235+24+60}{10}=\dfrac{1411}{10}=141{,}1$

Con un nivel de confianza del 92 % se tiene $\alpha=0{,}08$, luego $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}04=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$



Se calcula el error máximo con $n=10$:

$E=1{,}75\cdot\dfrac{50}{\sqrt{10}}=1{,}75\cdot 15{,}8114=27{,}67$

Los extremos del intervalo son:

$141{,}1-27{,}67=113{,}43$

$141{,}1+27{,}67=168{,}77$

El intervalo de confianza al 92 % es $(113{,}43;\ 168{,}77)$ días. Si se repitiera muchas veces el muestreo, el 92 % de los intervalos construidos así contendría el tiempo medio real que tardan los jóvenes de la región en encontrar un trabajo relacionado con sus estudios, tiempo que se estima entre 113,43 y 168,77 días.

$\textbf{ii) Con los datos de esa muestra se ha calculado otro intervalo de confianza, con una amplitud de 68.62143 días. Calcule el nivel de confianza del nuevo intervalo, justificando su respuesta.}\ (5\ \text{puntos})$

La amplitud de un intervalo de confianza es el doble del error máximo, así que

$E=\dfrac{68{,}62143}{2}=34{,}310715$

De la expresión del error máximo se despeja el valor crítico, con los mismos $\sigma=50$ y $n=10$ de la muestra:

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 34{,}310715=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{50}{\sqrt{10}}=z_{\alpha/2}\cdot 15{,}8114$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{34{,}310715}{15{,}8114}=2{,}17$

Se busca ese valor en la tabla de la normal estándar:

$P(Z<2{,}17)=0{,}985 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}015 \Rightarrow \alpha=0{,}03$



El nivel de confianza del nuevo intervalo es $1-\alpha=0{,}97$, es decir, del 97 %. Es coherente con el apartado anterior: al ser más ancho que el del 92 %, tiene que corresponder a una confianza mayor.