Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La primera derivada de cierta función $f(x)$ viene dada por $f'(x) = x \cdot (x-2)^2$.

i) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$. (3 puntos)

ii) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Para qué valores de $x$ la función $f(x)$ presenta puntos de inflexión? (4 puntos)

iii) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0) = 5$. (3 puntos)

$\textbf{i) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Los puntos críticos son los que anulan la derivada, que en este caso viene dada directamente en el enunciado.

$f'(x)=0 \Rightarrow x\cdot(x-2)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

El factor $(x-2)^2$ es un cuadrado y por tanto nunca es negativo, así que el signo de la derivada coincide con el signo de $x$ salvo en $x=2$, donde se anula.

$f'(-1)=(-1)\cdot(-3)^2=-9<0$, la función decrece.

$f'(1)=1\cdot(-1)^2=1>0$, la función crece.

$f'(3)=3\cdot 1^2=3>0$, la función crece.



La función decrece en $(-\infty,0)$ y crece en $(0,+\infty)$.

En $x=0$ la derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo relativo. En $x=2$ la derivada se anula pero no cambia de signo, de modo que no hay extremo relativo: es un punto de tangente horizontal dentro de un tramo creciente.

$\textbf{ii) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Para qué valores de } \boldsymbol{x}\textbf{ la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ presenta puntos de inflexión?}\ (4\ \text{puntos})$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada. Se desarrolla primero la primera derivada:

$f'(x)=x(x-2)^2=x\left(x^2-4x+4\right)=x^3-4x^2+4x$

$f''(x)=3x^2-8x+4$

$f''(x)=0 \Rightarrow 3x^2-8x+4=0 \Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{6}=\dfrac{8\pm 4}{6}$

$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3} \\[4pt] x=2 \end{cases}$

Se estudia el signo de la segunda derivada en los tres tramos:

$f''(0)=4>0$, la función es convexa.

$f''(1)=3-8+4=-1<0$, la función es cóncava.

$f''(3)=27-24+4=7>0$, la función es convexa.



La función es convexa en $\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)\cup(2,+\infty)$ y cóncava en $\left(\dfrac{2}{3},2\right)$.

En $x=\dfrac{2}{3}$ y en $x=2$ la segunda derivada cambia de signo, de modo que la función presenta un punto de inflexión en cada uno de ellos.

$\textbf{iii) Determine } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{f(0) = 5}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

La función se recupera integrando su derivada, ya desarrollada en el apartado anterior.

$f(x)=\int \left(x^3-4x^2+4x\right)dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2+C$

Se determina la constante con la condición $f(0)=5$:

$f(0)=\dfrac{0}{4}-\dfrac{0}{3}+0+C=C=5$

La función pedida es

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2+5$