Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función $f(x) = \begin{cases} -x^2 - 4x & \text{si } x < -1 \\ 4 - x & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

i) Estudie la continuidad de $f(x)$, clasificando sus puntos de discontinuidad. (3 puntos)

ii) Estudie la derivabilidad de $f(x)$. (3 puntos)

iii) Calcule $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$. (4 puntos)

$\textbf{i) Estudie la continuidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, clasificando sus puntos de discontinuidad.}\ (3\ \text{puntos})$

Los tres trozos son polinomios, continuos en todo su dominio, así que solo hay que estudiar los puntos de empalme $x=-1$ y $x=1$.

En $x=-1$:

$\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}\left(-x^2-4x\right)=-1+4=3$

$\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}\left(4-x\right)=4+1=5$

Los límites laterales existen pero son distintos, de modo que en $x=-1$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $5-3=2$.

En $x=1$:

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\left(4-x\right)=3$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\left(x^2-6x+8\right)=1-6+8=3$

$f(1)=1^2-6\cdot 1+8=3$

Los dos límites laterales coinciden con la imagen, luego la función es continua en $x=1$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{-1\}$ y presenta en $x=-1$ una discontinuidad de salto finito.

$\textbf{ii) Estudie la derivabilidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{.}\ (3\ \text{puntos})$

Toda función derivable en un punto es continua en él, de modo que en $x=-1$, donde la función no es continua, tampoco es derivable.

En $x=1$ la función sí es continua, así que hay que comparar las derivadas laterales. La función derivada en cada trozo es:

$f'(x)= \begin{cases} -2x-4 & \text{si } x<-1 \\ -1 & \text{si } -1<x<1 \\ 2x-6 & \text{si } x>1 \end{cases}$

$f'(1^-)=-1$

$f'(1^+)=2\cdot 1-6=-4$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $x=1$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso.

La función es derivable en $\mathbb{R}-\{-1,1\}$.

$\textbf{iii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx}\textbf{.}\ (4\ \text{puntos})$

El intervalo de integración contiene el punto de empalme $x=1$, así que la integral se parte en dos, una por cada trozo de la función.

$\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 (4-x)\,dx+\int_1^2 \left(x^2-6x+8\right)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow en el primer sumando:

$\int_0^1 (4-x)\,dx=\left[4x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$

Y en el segundo:

$\int_1^2 \left(x^2-6x+8\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-3x^2+8x\right]_1^2$

$=\left(\dfrac{8}{3}-12+16\right)-\left(\dfrac{1}{3}-3+8\right) =\dfrac{8}{3}+4-\dfrac{1}{3}-5=\dfrac{7}{3}-1=\dfrac{4}{3}$

Sumando los dos resultados:

$\int_0^2 f(x)\,dx=\dfrac{7}{2}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{21+8}{6}=\dfrac{29}{6}$

El valor de la integral es $\dfrac{29}{6}\approx 4{,}83$.