Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa recibe diariamente un disolvente desde dos distribuidores (D1 y D2). El distribuidor D2 tiene una capacidad de transporte diario de 20 litros de disolvente, mientras que el distribuidor D1 tiene el triple de capacidad. La empresa necesita al menos 50 litros de disolvente al día. La empresa quiere favorecer al distribuidor D1, por lo que quiere recibir al menos 30 litros diarios más desde D1 que desde D2.

La siguiente tabla recoge el coste y el nivel de contaminación asociados al transporte a la empresa desde los dos distribuidores.

	Coste de transporte (euros/litro)	Nivel de emisiones tóxicas (mg/litro) D1	0.8	0.06 D2	1	0.02

Determine cuántos litros diarios deberá enviar cada distribuidor a la empresa si se desea minimizar el nivel de contaminación ambiental y no gastar más de 80 euros diarios en el transporte del disolvente.

i) Plantee el problema. (4 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii) Analice gráficamente qué ocurriría si no se quisiera gastar más de 30 euros diarios en el transporte del disolvente. (2 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los litros diarios de disolvente que envía el distribuidor D1 e $y$ a los que envía el distribuidor D2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Litros}$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Emisiones (mg)}$
Distribuidor D1 (x)	x	0{,}8x	0{,}06x
Distribuidor D2 (y)	y	y	0{,}02y
Totales	x+y	0{,}8x+y	0{,}06x+0{,}02y

La función objetivo que se desea minimizar es el nivel de contaminación diario:

$C(x,y)=0{,}06x+0{,}02y$

Las restricciones del problema son:

El distribuidor D2 transporta como máximo 20 litros diarios $\Rightarrow$ $y\leq 20$.

El distribuidor D1 tiene el triple de capacidad $\Rightarrow$ $x\leq 60$.

La empresa necesita al menos 50 litros al día $\Rightarrow$ $x+y\geq 50$.

Se quieren recibir al menos 30 litros diarios más desde D1 que desde D2 $\Rightarrow$ $x\geq y+30$, es decir, $x-y\geq 30$.

No se pueden gastar más de 80 euros diarios en el transporte $\Rightarrow$ $0{,}8x+y\leq 80$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x\leq 60 \\ y\leq 20 \\ x+y\geq 50 \\ x-y\geq 30 \\ 0{,}8x+y\leq 80 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.}\ (4\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x=60$, $y=20$, $x+y=50$, $x-y=30$ y $0{,}8x+y=80$.

La restricción del gasto no llega a cortar a la región, porque en el punto más caro, $(60,20)$, se gastan $0{,}8\cdot 60+20=68$ euros, por debajo de los 80 disponibles.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x+y=50 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow A(50,0)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=60 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow B(60,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x=60 \\ y=20 \end{cases} \Rightarrow C(60,20)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} y=20 \\ x-y=30 \end{cases} \Rightarrow x=50 \Rightarrow D(50,20)$

Vértice $E$:

$\begin{cases} x+y=50 \\ x-y=30 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones: $2x=80 \Rightarrow x=40 \Rightarrow y=10 \Rightarrow E(40,10)$.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$C(50,0)=0{,}06\cdot 50=3$

$C(60,0)=0{,}06\cdot 60=3{,}6$

$C(60,20)=3{,}6+0{,}02\cdot 20=4$

$C(50,20)=3+0{,}4=3{,}4$

$C(40,10)=0{,}06\cdot 40+0{,}02\cdot 10=2{,}4+0{,}2=2{,}6$

El nivel de contaminación mínimo se produce en el vértice $E(40,10)$.

La empresa debe recibir 40 litros diarios del distribuidor D1 y 10 litros del D2, con lo que se emiten 2,6 mg de sustancias tóxicas al día. Con ese reparto se cubren los 50 litros necesarios y se gastan $0{,}8\cdot 40+10=42$ euros diarios, dentro del presupuesto.

$\textbf{iii) Analice gráficamente qué ocurriría si no se quisiera gastar más de 30 euros diarios en el transporte del disolvente.}\ (2\ \text{puntos})$

La restricción del gasto pasaría a ser $0{,}8x+y\leq 30$. Se dibuja esa recta sobre el mismo gráfico.



La recta $0{,}8x+y=30$ deja toda la región factible por encima de ella, así que ningún punto del recinto cumpliría la nueva restricción. Basta comprobarlo en los vértices, que son donde el gasto es menor:

$0{,}8\cdot 50+0=40$, $0{,}8\cdot 60+0=48$, $0{,}8\cdot 60+20=68$, $0{,}8\cdot 50+20=60$, $0{,}8\cdot 40+10=42$.

El gasto más bajo posible cumpliendo las demás condiciones es de 40 euros diarios, en el vértice $A(50,0)$. Con un tope de 30 euros la región factible quedaría vacía y el problema no tendría solución: la empresa no podría a la vez recibir los 50 litros que necesita, favorecer al distribuidor D1 en 30 litros y gastar menos de 30 euros.