Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcule los valores de $a$ para los cuales la matriz $B$ tiene inversa. (0.75 puntos)

ii) En un estudio sobre hábitos de compras de libros entre los jóvenes de una región, la mitad de los encuestados hace compras por internet, el 40% compra en tiendas físicas y el 35% combina ambas prácticas. Se elige un joven al azar.

a) Calcule la probabilidad de que compre libros en alguno de los dos formatos. (0.75 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que no compre libros en tiendas físicas, sabiendo que tampoco compra en internet. (1 punto)

$\textbf{i) Dada la matriz } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ tiene inversa.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que se calcula el determinante en función del parámetro y se estudia cuándo se anula.

Se desarrolla por la primera fila:

$|B|= \begin{vmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =2\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -a\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} +a\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$|B|=2\cdot 1-a\cdot 1+a\cdot(-2)=2-a-2a=2-3a$

Se busca cuándo se anula:

$2-3a=0 \Rightarrow a=\dfrac{2}{3}$

La matriz $B$ tiene inversa para todo valor de $a$ distinto de $\dfrac{2}{3}$.

$\textbf{ii) a) Calcule la probabilidad de que compre libros en alguno de los dos formatos.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Se nombran los sucesos $I \equiv$ comprar por internet y $F \equiv$ comprar en tiendas físicas. Del enunciado:

$P(I)=0{,}5;\qquad P(F)=0{,}4;\qquad P(I\cap F)=0{,}35$

Comprar «en alguno de los dos formatos» es la unión de los dos sucesos, que no son incompatibles porque un 35 % combina ambas prácticas.

$P(I\cup F)=P(I)+P(F)-P(I\cap F)=0{,}5+0{,}4-0{,}35=0{,}55$



La probabilidad de que compre libros en alguno de los dos formatos es $0{,}55$.

$\textbf{ii) b) Calcule la probabilidad de que no compre libros en tiendas físicas, sabiendo que tampoco compra en internet.}\ (1\ \text{punto})$

Se pide la probabilidad condicionada

$P(\overline{F}/\overline{I})=\dfrac{P(\overline{F}\cap\overline{I})}{P(\overline{I})}$

Por las leyes de De Morgan, el suceso «ni una cosa ni la otra» es el contrario de la unión:

$P(\overline{F}\cap\overline{I})=P(\overline{I\cup F})=1-P(I\cup F)=1-0{,}55=0{,}45$

$P(\overline{I})=1-P(I)=1-0{,}5=0{,}5$

$P(\overline{F}/\overline{I})=\dfrac{0{,}45}{0{,}5}=0{,}9$

La probabilidad de que no compre libros en tiendas físicas, sabiendo que tampoco compra por internet, es $0{,}9$.