Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$. (1.75 puntos)

ii) Calcule y simplifique la derivada de la función $f(x) = \dfrac{e^{3x}}{2x-5}$. (0.75 puntos)

$\textbf{i) Dada la matriz } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule, si es posible, la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{.}\ (1{,}75\ \text{puntos})$

Se calcula la matriz inversa por el método de los adjuntos.

1) Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|= \begin{vmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =2\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} +2\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=2\cdot 1+2\cdot 1-2\cdot(-2)=2+2+4=8\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $A$ tiene inversa.

2) Se calcula la matriz de los adjuntos:

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[6pt] -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[6pt] \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & -4 \\ 6 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

3) Se calcula la traspuesta de la matriz de los adjuntos:

$\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ -1 & 2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$

4) Se aplica la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^t =\dfrac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ -1 & 2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

$\textbf{ii) Calcule y simplifique la derivada de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{e^{3x}}{2x-5}}\textbf{.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Se aplica la regla de derivación de un cociente:

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

con $u=e^{3x}$, de derivada $u'=3e^{3x}$, y $v=2x-5$, de derivada $v'=2$.

$f'(x)=\dfrac{3e^{3x}(2x-5)-e^{3x}\cdot 2}{(2x-5)^2}$

Se saca factor común $e^{3x}$ en el numerador:

$f'(x)=\dfrac{e^{3x}\left(6x-15-2\right)}{(2x-5)^2}$

$f'(x)=\dfrac{e^{3x}(6x-17)}{(2x-5)^2}$