Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un estudio realizado en una comunidad autónoma concluyó que el tiempo de espera para una intervención de cirugía cardiaca sigue una distribución normal. A partir de una muestra de 100 pacientes operados, se calculó el siguiente intervalo de confianza al 97% para el tiempo medio (en días) de espera para la cirugía: $[28.264,\ 31.736]$.

i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio de espera para la cirugía de la muestra de 100 pacientes. (1.25 puntos)

ii) Construya un intervalo de confianza al 91% para el tiempo medio de espera para una intervención de cirugía cardiaca. Interprete la solución en el contexto del problema. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio de espera para la cirugía de la muestra de 100 pacientes.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para la media es de la forma $\left(\overline{x}-E,\ \overline{x}+E\right)$, así que la media muestral es su centro:

$\overline{x}=\dfrac{28{,}264+31{,}736}{2}=\dfrac{60}{2}=30$

y el error máximo su semiamplitud:

$E=\dfrac{31{,}736-28{,}264}{2}=\dfrac{3{,}472}{2}=1{,}736$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha=0{,}03$, luego $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



De la expresión del error máximo se despeja la desviación típica:

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 1{,}736=2{,}17\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}=2{,}17\cdot\dfrac{\sigma}{10}$

$\sigma=\dfrac{1{,}736\cdot 10}{2{,}17}=\dfrac{17{,}36}{2{,}17}=8$

$\sigma^2=8^2=64$

La varianza poblacional es de $64$ días² y el tiempo medio de espera de la muestra es de 30 días.

$\textbf{ii) Construya un intervalo de confianza al 91 \% para el tiempo medio de espera para una intervención de cirugía cardiaca. Interprete la solución en el contexto del problema.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se mantienen la media muestral $\overline{x}=30$, la desviación típica $\sigma=8$ y el tamaño $n=100$, y solo cambia el valor crítico.

Con un nivel de confianza del 91 % se tiene $\alpha=0{,}09$, luego $\alpha/2=0{,}045$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}045=0{,}955 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}70$



$E=1{,}70\cdot\dfrac{8}{\sqrt{100}}=1{,}70\cdot 0{,}8=1{,}36$

Los extremos del intervalo son:

$30-1{,}36=28{,}64$

$30+1{,}36=31{,}36$

El intervalo de confianza al 91 % es $(28{,}64;\ 31{,}36)$ días. Al bajar el nivel de confianza del 97 % al 91 % el intervalo se estrecha: se gana precisión a costa de una probabilidad menor de que el procedimiento atrape al parámetro. Con esa confianza se estima que el tiempo medio de espera para la intervención está entre 28,64 y 31,36 días.