Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

La siguiente figura muestra el ala de una maqueta de avión de aeromodelismo.



El corte transversal del ala, representado gráficamente en los ejes de coordenadas, es:



La parte sombreada del corte transversal es la región del plano delimitada por el eje X y la curva que viene dada por la función: $f(x) = 2\sqrt{x} - \dfrac{x}{5} + 2, \ \ para\ 0 \leq x \leq 100$, donde $x$ es la distancia horizontal (en cm) desde la parte delantera del ala e $y$ es la altura (en cm) respecto al eje horizontal.

i) Calcule la altura máxima del ala y a qué distancia horizontal se alcanza. Razone analíticamente por qué es un máximo relativo. (1.25 puntos)

ii) Calcule el área de la parte sombreada del corte transversal. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Calcule la altura máxima del ala y a qué distancia horizontal se alcanza. Razone analíticamente por qué es un máximo relativo.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se buscan los puntos críticos derivando la función y igualando a cero. Se escribe antes la raíz como una potencia:

$f(x)=2x^{1/2}-\dfrac{x}{5}+2$

$f'(x)=2\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{5}$

$f'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$

Se calcula la altura en ese punto:

$f(25)=2\sqrt{25}-\dfrac{25}{5}+2=2\cdot 5-5+2=7$

Para justificar que se trata de un máximo se recurre a la segunda derivada:

$f'(x)=x^{-1/2}-\dfrac{1}{5} \Rightarrow f''(x)=-\dfrac{1}{2}x^{-3/2}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}$

$f''(25)=-\dfrac{1}{2\sqrt{25^3}}=-\dfrac{1}{250}<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=25$ la función presenta un máximo relativo.



La altura máxima del ala es de 7 cm y se alcanza a 25 cm de la parte delantera.

$\textbf{ii) Calcule el área de la parte sombreada del corte transversal.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

La región está limitada por el eje X y la curva entre $x=0$ y $x=100$. La curva no corta al eje de abscisas dentro de ese intervalo, pues

$f(0)=2$ y $f(100)=2\sqrt{100}-\dfrac{100}{5}+2=20-20+2=2$,

y entre ambos extremos la función alcanza el máximo hallado antes, así que se mantiene positiva. El área es entonces la integral definida.

$A=\int_0^{100}\left(2\sqrt{x}-\dfrac{x}{5}+2\right)dx$

Se integra sumando a sumando, usando $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\int 2x^{1/2}\,dx=2\cdot\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{4}{3}\sqrt{x^3}$

$A=\left[\dfrac{4}{3}\sqrt{x^3}-\dfrac{x^2}{10}+2x\right]_0^{100}$

$A=\left(\dfrac{4}{3}\cdot 1000-\dfrac{10\,000}{10}+200\right)-0$

$A=\dfrac{4000}{3}-1000+200=\dfrac{4000}{3}-800=\dfrac{4000-2400}{3}=\dfrac{1600}{3}$

El área de la parte sombreada del corte transversal es $\dfrac{1600}{3}\approx 533{,}33$ cm².