Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa produce dos modelos de cristales, C1 y C2. Para su fabricación utiliza dos tipos de materia prima (M1 y M2), de las que dispone diariamente de 135 kg y 60 kg, respectivamente. La siguiente tabla recoge, para cada modelo de cristal, la cantidad de materia prima de cada tipo necesaria para su fabricación y el tiempo de fabricación.

	Materia prima M1 (kg/m²)	Materia prima M2 (kg/m²)	Tiempo de fabricación (minutos/m²) C1	3	2	22 C2	6	1	14

Sabiendo que la empresa quiere fabricar diariamente al menos 20 m² de cristal, determine la cantidad diaria que se deberá fabricar de cada modelo de cristal si la empresa desea minimizar el tiempo de fabricación.

i) Plantee el problema. (1.25 puntos)

ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Plantee el problema.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se llama $x$ a los metros cuadrados que se fabrican al día del modelo C1 e $y$ a los del modelo C2.

Se ordena la información del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Materia prima M1 (kg)}$	$\text{Materia prima M2 (kg)}$	$\text{Tiempo (min)}$
Modelo C1 (x)	3x	2x	22x
Modelo C2 (y)	6y	y	14y
Totales	3x+6y	2x+y	22x+14y

La función objetivo que se desea minimizar es el tiempo diario de fabricación:

$T(x,y)=22x+14y$

Las restricciones del problema son:

De la materia prima M1 se dispone de 135 kg diarios $\Rightarrow$ $3x+6y\leq 135$, que simplificando entre 3 queda $x+2y\leq 45$.

De la materia prima M2 se dispone de 60 kg diarios $\Rightarrow$ $2x+y\leq 60$.

Se quieren fabricar al menos 20 m² de cristal $\Rightarrow$ $x+y\geq 20$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+2y\leq 45 \\ 2x+y\leq 60 \\ x+y\geq 20 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{ii) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$x+2y=45 \Rightarrow y=\dfrac{45-x}{2}$,

$2x+y=60 \Rightarrow y=60-2x$,

$x+y=20 \Rightarrow y=20-x$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x=0 \\ x+y=20 \end{cases} \Rightarrow A(0,20)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=0 \\ x+2y=45 \end{cases} \Rightarrow 2y=45 \Rightarrow y=22{,}5 \Rightarrow B(0;22{,}5)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x+2y=45 \\ 2x+y=60 \end{cases}$

Se despeja $x=45-2y$ en la primera y se sustituye en la segunda:

$2(45-2y)+y=60 \Rightarrow 90-3y=60 \Rightarrow y=10 \Rightarrow x=45-20=25 \Rightarrow C(25,10)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} 2x+y=60 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow x=30 \Rightarrow D(30,0)$

Vértice $E$:

$\begin{cases} x+y=20 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow x=20 \Rightarrow E(20,0)$

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del tiempo mínimo:

$T(0,20)=22\cdot 0+14\cdot 20=280$

$T(0;22{,}5)=14\cdot 22{,}5=315$

$T(25,10)=22\cdot 25+14\cdot 10=550+140=690$

$T(30,0)=22\cdot 30=660$

$T(20,0)=22\cdot 20=440$

El tiempo mínimo se produce en el vértice $A(0,20)$.

La empresa debe fabricar diariamente 0 m² del modelo C1 y 20 m² del modelo C2, con lo que emplea 280 minutos de fabricación. Con esa producción se cubre el mínimo de 20 m² de cristal y se consumen $6\cdot 20=120$ kg de materia prima M1 y $1\cdot 20=20$ kg de M2, por debajo de las cantidades disponibles.