Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dadas las matrices $C = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, despeje y calcule $X$ en la ecuación matricial $XD - C = I$. (1.25 puntos)

ii) En un barrio de una ciudad, el importe mensual (en euros) del alquiler de una vivienda sigue una distribución normal con varianza 22500 euros$^2$. Se selecciona una muestra de 74 viviendas en la zona, obteniéndose una media muestral de 738 euros. Calcule un intervalo de confianza al 96% para el importe medio mensual del alquiler de una vivienda. Interprete la solución en el contexto del problema. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Dadas las matrices } \boldsymbol{C = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{D = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, despeje y calcule } \boldsymbol{X}\textbf{ en la ecuación matricial } \boldsymbol{XD - C = I}\textbf{.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se despeja $X$ aplicando las propiedades de las matrices. Como $D$ multiplica a $X$ por la derecha, hay que multiplicar por $D^{-1}$ también por la derecha.

$XD-C=I \Rightarrow XD=I+C \Rightarrow XDD^{-1}=(I+C)D^{-1} \Rightarrow X=(I+C)\cdot D^{-1}$

Se calcula primero la suma:

$I+C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

Se calcula la inversa de $D$. Su determinante es

$|D|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot 1-(-1)\cdot 4=6\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero, la matriz $D$ tiene inversa.

$D^{-1}=\dfrac{1}{|D|}\left(\operatorname{Adj}(D)\right)^t=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

Se calcula la matriz $X$:

$X=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 1+8 & 1-4 \\ 3-4 & 3+2 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{6} \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$X\cdot D-C=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 18 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

$\textbf{ii) En un barrio de una ciudad, el importe mensual (en euros) del alquiler de una vivienda sigue una distribución normal con varianza 22500 euros}\boldsymbol{^2}\textbf{. Se selecciona una muestra de 74 viviendas en la zona, obteniéndose una media muestral de 738 euros. Calcule un intervalo de confianza al 96 \% para el importe medio mensual del alquiler de una vivienda. Interprete la solución en el contexto del problema.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

La población es normal y la varianza poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{22500}=150$

Con un nivel de confianza del 96 % se tiene $\alpha=0{,}04$, luego $\alpha/2=0{,}02$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}02=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



Se calcula el error máximo con $n=74$:

$E=2{,}05\cdot\dfrac{150}{\sqrt{74}}=2{,}05\cdot 17{,}4368=35{,}75$

Los extremos del intervalo son:

$738-35{,}75=702{,}25$

$738+35{,}75=773{,}75$

El intervalo de confianza al 96 % es $(702{,}25;\ 773{,}75)$ euros. Si se repitiera muchas veces el muestreo de 74 viviendas, el 96 % de los intervalos construidos de esta forma contendría el importe medio mensual real del alquiler en el barrio, que se estima así entre 702,25 y 773,75 euros.