Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} a & b \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$, calcule el valor de $a$ y $b$ para que se cumpla $AB = BA$. (1 punto)

ii) Calcule el área del recinto del plano limitado por la función $f(x) = -x^2 - 2x + 3$ y el eje $x$. (1.5 puntos)

$\textbf{i) Dadas las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} a & b \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{, calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que se cumpla } \boldsymbol{AB = BA}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

El producto de matrices no es conmutativo, así que se calculan los dos productos por separado y se igualan elemento a elemento.

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot a-2\cdot 4 & 0\cdot b-2\cdot 1 \\ 3a+0\cdot 4 & 3b+0\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -2 \\ 3a & 3b \end{pmatrix}$

$B\cdot A= \begin{pmatrix} a & b \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3b & -2a+0 \\ 0+3 & -8+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b & -2a \\ 3 & -8 \end{pmatrix}$

Igualando las dos matrices se obtiene el sistema:

$\begin{cases} -8=3b \\ -2=-2a \\ 3a=3 \\ 3b=-8 \end{cases}$

De la segunda y la tercera ecuación, $a=1$; de la primera y la cuarta, $b=-\dfrac{8}{3}$.

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} -8 & -2 \\ 3 & -8 \end{pmatrix}=B\cdot A$

Las dos matrices conmutan si $a=1$ y $b=-\dfrac{8}{3}$.

$\textbf{ii) Calcule el área del recinto del plano limitado por la función } \boldsymbol{f(x) = -x^2 - 2x + 3}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{x}\textbf{.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

Los límites de integración son los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas.

$-x^2-2x+3=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{-2\pm 4}{2}$

$\begin{cases} x=-3 \\ x=1 \end{cases}$

La parábola tiene las ramas hacia abajo, de modo que entre esos dos cortes queda por encima del eje X y el área es directamente la integral definida.



$A=\int_{-3}^{1}\left(-x^2-2x+3\right)dx =\left[-\dfrac{x^3}{3}-x^2+3x\right]_{-3}^{1}$

$=\left(-\dfrac{1}{3}-1+3\right)-\left(-\dfrac{-27}{3}-9-9\right)$

$=\dfrac{5}{3}-\left(9-9-9\right)=\dfrac{5}{3}+9=\dfrac{32}{3}$

El área del recinto es $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ unidades de área.