Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El ayuntamiento de una ciudad hace una encuesta a 250 jóvenes (150 mujeres y 100 hombres) sobre sus hábitos de movilidad (transporte público, vehículo propio o caminar). Observaron que 60 mujeres y 40 hombres encuestados prefieren el transporte público, el 16% de las mujeres y el 10% de los hombres prefieren usar su propio vehículo, y el resto de las personas prefiere caminar.

i) Se elige un joven al azar. Calcule la probabilidad de que sea mujer, sabiendo que prefiere caminar. (1 punto)

ii) Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos prefiera utilizar el transporte público. (0.75 puntos)

iii) Se eligen al azar tres jóvenes sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que los tres prefieran usar su propio vehículo. (0.75 puntos)

$\textbf{i) Se elige un joven al azar. Calcule la probabilidad de que sea mujer, sabiendo que prefiere caminar.}\ (1\ \text{punto})$

Se completa primero la tabla de contingencia con los datos del enunciado. Prefieren el vehículo propio el 16 % de las 150 mujeres, es decir, $0{,}16\cdot 150=24$ mujeres, y el 10 % de los 100 hombres, es decir, $0{,}10\cdot 100=10$ hombres. El resto de cada grupo prefiere caminar.

$$	$\text{Transporte público}$	$\text{Vehículo propio}$	$\text{Caminar}$	$\text{Total}$
Mujeres	60	24	66	150
Hombres	40	10	50	100
Total	100	34	116	250

Se nombran los sucesos $M \equiv$ ser mujer y $C \equiv$ preferir caminar. Se pide una probabilidad condicionada:

$P(M/C)=\dfrac{P(M\cap C)}{P(C)}$

Trabajando directamente con las frecuencias de la tabla, de los 116 jóvenes que prefieren caminar, 66 son mujeres:

$P(M/C)=\dfrac{66}{116}=\dfrac{33}{58}\approx 0{,}5690$

La probabilidad de que sea mujer, sabiendo que prefiere caminar, es $\dfrac{33}{58}\approx 0{,}5690$.

$\textbf{ii) Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos prefiera utilizar el transporte público.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Las probabilidades se calculan dentro de cada grupo, porque el hombre se elige entre los hombres y la mujer entre las mujeres.

$P(T_H)=\dfrac{40}{100}=0{,}4;\qquad P(T_M)=\dfrac{60}{150}=0{,}4$

El suceso «al menos uno» es el contrario de «ninguno de los dos», y como las elecciones son independientes las probabilidades se multiplican:

$P(\text{al menos uno})=1-P(\overline{T_H})\cdot P(\overline{T_M})=1-0{,}6\cdot 0{,}6$

$P(\text{al menos uno})=1-0{,}36=0{,}64$

La probabilidad de que al menos uno de los dos prefiera el transporte público es $0{,}64$.

$\textbf{iii) Se eligen al azar tres jóvenes sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de que los tres prefieran usar su propio vehículo.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

Ahora se elige entre los 250 jóvenes, de los que $24+10=34$ prefieren el vehículo propio. Al no haber reemplazamiento, cada extracción modifica los totales de la siguiente.

$P(V_1\cap V_2\cap V_3)=\dfrac{34}{250}\cdot\dfrac{33}{249}\cdot\dfrac{32}{248}$

$P(V_1\cap V_2\cap V_3)=\dfrac{35\,904}{15\,438\,000}=\dfrac{748}{321\,625}\approx 0{,}0023$

La probabilidad de que los tres jóvenes elegidos prefieran usar su propio vehículo es de $\dfrac{748}{321\,625}\approx 0{,}0023$.