Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

En un estudio sobre la evolución de una determinada especie animal se ha determinado que la población, en miles de ejemplares, viene dada por la función:

$P(t) = 6 + \dfrac{12 \cdot t}{t^2+4}$

donde $t \geq 0$ es el tiempo transcurrido en años. Responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine la población a los 6 años y la población a largo plazo. ¿Es la población una función continua del tiempo? (0.75 puntos)

ii) ¿Cuándo se alcanza la máxima población? ¿Cuál es su valor? Determine para qué periodos de tiempo la población crece o decrece. (1.25 puntos)

iii) Represente gráficamente la función de población. (0.5 puntos)

$\textbf{i) Determine la población a los 6 años y la población a largo plazo. ¿Es la población una función continua del tiempo?}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

La población a los 6 años es la imagen de $t=6$:

$P(6)=6+\dfrac{12\cdot 6}{6^2+4}=6+\dfrac{72}{40}=6+1{,}8=7{,}8$

A los 6 años hay $7\,800$ ejemplares.

La población a largo plazo es el límite cuando el tiempo tiende a infinito:

$\lim_{t\to+\infty}P(t)=\lim_{t\to+\infty}\left(6+\dfrac{12t}{t^2+4}\right)=6+0=6$

porque el denominador tiene grado mayor que el numerador. A largo plazo la población se estabiliza en $6\,000$ ejemplares.

En cuanto a la continuidad, la función es un cociente de polinomios sumado a una constante, y el denominador no se anula nunca:

$t^2+4=0 \Rightarrow t^2=-4$, que no tiene solución real.

La población es una función continua del tiempo en todo su dominio $t\geq 0$.

$\textbf{ii) ¿Cuándo se alcanza la máxima población? ¿Cuál es su valor? Determine para qué periodos de tiempo la población crece o decrece.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se deriva la función aplicando la regla del cociente y se iguala a cero.

$P'(t)=12\cdot\dfrac{1\cdot(t^2+4)-t\cdot 2t}{(t^2+4)^2} =12\cdot\dfrac{t^2+4-2t^2}{(t^2+4)^2} =\dfrac{12\left(4-t^2\right)}{(t^2+4)^2}$

$P'(t)=0 \Rightarrow 4-t^2=0 \Rightarrow t=\pm 2$

Se descarta $t=-2$ por no pertenecer al dominio, que es $t\geq 0$.

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada es el del numerador. Se estudia a un lado y a otro de $t=2$:

$P'(1)=\dfrac{12(4-1)}{25}=\dfrac{36}{25}>0$, la población crece.

$P'(3)=\dfrac{12(4-9)}{169}=\dfrac{-60}{169}<0$, la población decrece.



Como la función pasa de crecer a decrecer, en $t=2$ hay un máximo relativo, que además es absoluto:

$P(2)=6+\dfrac{12\cdot 2}{2^2+4}=6+\dfrac{24}{8}=6+3=9$

La población máxima se alcanza a los 2 años y es de $9\,000$ ejemplares. La población crece en el intervalo $(0,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$.

$\textbf{iii) Represente gráficamente la función de población.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Con la información anterior se dispone de todo lo necesario: la población parte de $P(0)=6$, crece hasta el máximo $(2,9)$, decrece después y se acerca a la asíntota horizontal $y=6$ sin llegar a alcanzarla.