Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

i) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 19 & 17 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, determine las matrices $X$ e $Y$ que son solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\begin{cases} X + 2Y = A^t \\ 3X - Y = B \end{cases}$ (1.25 puntos)

ii) Calcule $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{5}{\sqrt{6x+1}}\,dx$. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Dadas las matrices } \boldsymbol{A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 19 & 17 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}\textbf{, determine las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{ que son solución del siguiente sistema de ecuaciones matriciales.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se resuelve el sistema por sustitución, tratando las matrices como incógnitas.

$\begin{cases} X+2Y=A^t \\ 3X-Y=B \end{cases}$

De la segunda ecuación se despeja $Y$:

$Y=3X-B$

Se sustituye en la primera:

$X+2(3X-B)=A^t \Rightarrow X+6X-2B=A^t \Rightarrow 7X=A^t+2B$

$X=\dfrac{1}{7}\left(A^t+2B\right)$

Se calcula la traspuesta de $A$ intercambiando filas por columnas:

$A^t=\begin{pmatrix} 5 & 19 \\ 10 & 17 \end{pmatrix}$

$A^t+2B= \begin{pmatrix} 5 & 19 \\ 10 & 17 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -12 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 14 & 21 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 14 & 21 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

Se sustituye en $Y=3X-B$:

$Y=3\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$

Se comprueba en la primera ecuación:

$X+2Y=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 8 & 14 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 19 \\ 10 & 17 \end{pmatrix}=A^t$

Las matrices pedidas son $X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$.

$\textbf{ii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_0^4 \dfrac{5}{\sqrt{6x+1}}\,dx}\textbf{.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se escribe la raíz como una potencia de exponente fraccionario para integrar como una potencia:

$\dfrac{5}{\sqrt{6x+1}}=5\,(6x+1)^{-1/2}$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 6, que es la derivada de $6x+1$:

$\int 5\,(6x+1)^{-1/2}\,dx=\dfrac{5}{6}\int 6\,(6x+1)^{-1/2}\,dx =\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{(6x+1)^{1/2}}{1/2} =\dfrac{5}{3}\sqrt{6x+1}$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$\int_0^4 \dfrac{5}{\sqrt{6x+1}}\,dx =\left[\dfrac{5}{3}\sqrt{6x+1}\right]_0^4 =\dfrac{5}{3}\sqrt{25}-\dfrac{5}{3}\sqrt{1}$

$=\dfrac{5}{3}\cdot 5-\dfrac{5}{3}=\dfrac{25-5}{3}=\dfrac{20}{3}$

El valor de la integral es $\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$.