Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

i) Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal y proporcione el valor de la solución óptima. (1.5 puntos)

$\text{Minimizar } f(x,y) = 9x + 6y \quad \text{sujeto a} \begin{cases} 30x + 20y \leq 600 \\ y \geq 2x \\ x \geq 5 \\ y \geq 10 \end{cases}$

ii) Calcule la derivada de la función $f(x) = 4 + 7x^3 \cdot \cos(5x) + \ln(2x-5)$. (1 punto)

$\textbf{i) Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal y proporcione el valor de la solución óptima.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

Se simplifica primero la primera restricción dividiendo entre 10:

$30x+20y\leq 600 \Rightarrow 3x+2y\leq 60$

Para representar la región factible se dibujan las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.

$3x+2y=60 \Rightarrow y=\dfrac{60-3x}{2}$,

$y=2x$,

$x=5$ y $y=10$.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x=5 \\ y=10 \end{cases} \Rightarrow A(5,10)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=5 \\ 3x+2y=60 \end{cases} \Rightarrow 15+2y=60 \Rightarrow y=\dfrac{45}{2}=22{,}5 \Rightarrow B(5;22{,}5)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} y=2x \\ 3x+2y=60 \end{cases} \Rightarrow 3x+4x=60 \Rightarrow x=\dfrac{60}{7} \Rightarrow C\left(\dfrac{60}{7},\dfrac{120}{7}\right)$

La recta $y=10$ corta a $3x+2y=60$ en $\left(\dfrac{40}{3},10\right)$, pero ese punto no cumple $y\geq 2x$, porque $10<\dfrac{80}{3}$, así que no es vértice de la región factible.

Se valora la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del mínimo:

$f(5,10)=9\cdot 5+6\cdot 10=45+60=105$

$f(5;22{,}5)=9\cdot 5+6\cdot 22{,}5=45+135=180$

$f\left(\dfrac{60}{7},\dfrac{120}{7}\right)=9\cdot\dfrac{60}{7}+6\cdot\dfrac{120}{7}=\dfrac{540+720}{7}=\dfrac{1260}{7}=180$

El mínimo se alcanza en el vértice $A(5,10)$ y el valor óptimo de la función objetivo es $f(5,10)=105$.

$\textbf{ii) Calcule la derivada de la función } \boldsymbol{f(x) = 4 + 7x^3 \cdot \cos(5x) + \ln(2x-5)}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

Se deriva sumando por sumando. La derivada de la constante es cero, el segundo sumando es un producto y el tercero una función logarítmica compuesta.

Para el segundo sumando se aplica la regla del producto $(u\cdot v)'=u'v+uv'$ con $u=7x^3$ y $v=\cos(5x)$:

$\left(7x^3\cdot\cos(5x)\right)'=21x^2\cos(5x)+7x^3\cdot\left(-\operatorname{sen}(5x)\right)\cdot 5$

$\left(7x^3\cdot\cos(5x)\right)'=21x^2\cos(5x)-35x^3\operatorname{sen}(5x)$

Para el tercero se aplica $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$:

$\left(\ln(2x-5)\right)'=\dfrac{2}{2x-5}$

Sumando los tres resultados:

$f'(x)=21x^2\cos(5x)-35x^3\operatorname{sen}(5x)+\dfrac{2}{2x-5}$