Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Un gobierno está preocupado por el absentismo laboral de sus empleados públicos. La duración de las bajas laborales en este sector sigue una distribución normal, con varianza 144 días$^2$. A partir de una muestra de tamaño 36, se calculó el siguiente intervalo de confianza para la duración media (en días) de las bajas laborales de los empleados públicos: $[34.85,\ 45.15]$.

i) Determine la media muestral y el error máximo cometido en la estimación. (0.5 puntos)

ii) Calcule el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta. (1.5 puntos)

iii) Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. (0.5 puntos)

$\textbf{i) Determine la media muestral y el error máximo cometido en la estimación.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

Un intervalo de confianza para la media es de la forma $\left(\overline{x}-E,\ \overline{x}+E\right)$, de modo que la media muestral es su centro y el error máximo su semiamplitud.

$\overline{x}=\dfrac{34{,}85+45{,}15}{2}=\dfrac{80}{2}=40$

$E=\dfrac{45{,}15-34{,}85}{2}=\dfrac{10{,}3}{2}=5{,}15$

La media muestral es de 40 días y el error máximo cometido en la estimación es de 5,15 días.

$\textbf{ii) Calcule el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

El error máximo de un intervalo de confianza para la media con varianza poblacional conocida es

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

De la varianza se obtiene la desviación típica:

$\sigma=\sqrt{144}=12$

Se despeja el valor crítico con $n=36$:

$5{,}15=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{12}{\sqrt{36}}=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{12}{6}=2\,z_{\alpha/2}$

$z_{\alpha/2}=\dfrac{5{,}15}{2}=2{,}575$

Se busca ese valor en la tabla de la normal estándar:

$P(Z<2{,}575)=0{,}995 \Rightarrow 1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}995 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005 \Rightarrow \alpha=0{,}01$



El nivel de confianza del intervalo es $1-\alpha=0{,}99$, es decir, del 99 %.

$\textbf{iii) Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

El intervalo no dice dónde está seguro el parámetro, sino con qué frecuencia lo atrapa el procedimiento.

Si se repitiera muchas veces el muestreo de 36 bajas laborales y con cada muestra se construyera su intervalo de la misma forma, el 99 % de esos intervalos contendría la duración media real de las bajas laborales de los empleados públicos.

Con ese nivel de confianza se estima que la duración media de las bajas laborales está entre 34,85 y 45,15 días.