Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos modelos de patinetes eléctricos (P1 y P2), en tres plantas de producción (A, B y C).

Considere las matrices $M = \begin{pmatrix} 150 & 100 \\ 65 & 55 \\ 85 & 70 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 250 \\ 325 \end{pmatrix}$ y $H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

La matriz $M$ recoge información sobre el número de unidades de cada modelo fabricado en cada planta de producción. La matriz $P$ contiene el precio unitario de venta (en euros) de cada modelo de patinete, P1 y P2, respectivamente.

i) Indique la dimensión de la matriz $M$. Interprete el significado de su elemento $a_{21}$. (0.5 puntos)

ii) Calcule la matriz $H \cdot M$. Indique su dimensión y explique qué representan sus elementos en el contexto del problema. (0.75 puntos)

iii) Calcule, realizando la operación matricial necesaria, la matriz que refleje, para cada planta de producción, el ingreso obtenido por las ventas de ambos modelos de patinetes. ¿Qué planta es la que obtiene un menor ingreso y cuánto dinero ingresa? (1.25 puntos)

$\textbf{i) Indique la dimensión de la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{. Interprete el significado de su elemento } \boldsymbol{a_{21}}\textbf{.}\ (0{,}5\ \text{puntos})$

La matriz $M$ tiene tres filas, una por planta de producción, y dos columnas, una por modelo de patinete.

$M$ es de dimensión $3\times 2$.

El elemento $a_{21}$ ocupa la segunda fila y la primera columna:

$a_{21}=65$

Como las filas son las plantas A, B y C y las columnas los modelos P1 y P2, ese elemento significa que en la planta de producción B se fabrican 65 unidades del modelo P1.

$\textbf{ii) Calcule la matriz } \boldsymbol{H \cdot M}\textbf{. Indique su dimensión y explique qué representan sus elementos en el contexto del problema.}\ (0{,}75\ \text{puntos})$

$H$ es de dimensión $1\times 3$ y $M$ de dimensión $3\times 2$, luego el producto existe y es de dimensión $1\times 2$.

$H\cdot M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 150 & 100 \\ 65 & 55 \\ 85 & 70 \end{pmatrix}$

$H\cdot M= \begin{pmatrix} 1\cdot 150+1\cdot 65+1\cdot 85 & 1\cdot 100+1\cdot 55+1\cdot 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 300 & 225 \end{pmatrix}$

Multiplicar por $H$ suma las tres plantas, así que cada elemento es el total de unidades fabricadas de un modelo: se fabrican 300 patinetes del modelo P1 y 225 del modelo P2 entre las tres plantas.

$\textbf{iii) Calcule, realizando la operación matricial necesaria, la matriz que refleje, para cada planta de producción, el ingreso obtenido por las ventas de ambos modelos de patinetes. ¿Qué planta es la que obtiene un menor ingreso y cuánto dinero ingresa?}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Se quiere una matriz con una fila por planta, en la que cada fila multiplique las unidades de cada modelo por su precio unitario. Esa operación es $M\cdot P$, producto de una matriz $3\times 2$ por una $2\times 1$, que da una matriz $3\times 1$.

$M\cdot P= \begin{pmatrix} 150 & 100 \\ 65 & 55 \\ 85 & 70 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 250 \\ 325 \end{pmatrix}$

$M\cdot P= \begin{pmatrix} 150\cdot 250+100\cdot 325 \\ 65\cdot 250+55\cdot 325 \\ 85\cdot 250+70\cdot 325 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37500+32500 \\ 16250+17875 \\ 21250+22750 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70000 \\ 34125 \\ 44000 \end{pmatrix}$

Cada elemento es el ingreso, en euros, de una planta por la venta de los dos modelos.

La planta que obtiene un menor ingreso es la planta B, que ingresa $34\,125$ euros.