Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

i) El importe de los préstamos que solicitan los jóvenes a los bancos para la compra de su primera vivienda sigue una distribución normal con desviación típica 48 (en miles de euros). Se selecciona una muestra de jóvenes que solicitan un préstamo, obteniéndose los siguientes importes (en miles de euros): 160, 275, 300, 250, 280, 310, 180, 200 y 223. Calcule un intervalo de confianza al 95% para el importe medio de este tipo de préstamos. (Utilice 2 decimales). (1.5 puntos)

ii) Calcule $\displaystyle\int \dfrac{7x^2}{4x^3-2}\,dx$. (1 punto)

$\textbf{i) El importe de los préstamos que solicitan los jóvenes a los bancos para la compra de su primera vivienda sigue una distribución normal con desviación típica 48 (en miles de euros). Se selecciona una muestra de jóvenes que solicitan un préstamo, obteniéndose los siguientes importes (en miles de euros): 160, 275, 300, 250, 280, 310, 180, 200 y 223. Calcule un intervalo de confianza al 95 \% para el importe medio de este tipo de préstamos. (Utilice 2 decimales).}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

La población es normal y la desviación típica poblacional es conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se calcula la media de los nueve importes de la muestra:

$\overline{x}=\dfrac{160+275+300+250+280+310+180+200+223}{9}=\dfrac{2178}{9}=242$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



El error máximo, con $\sigma=48$ y $n=9$, es

$E=1{,}96\cdot\dfrac{48}{\sqrt{9}}=1{,}96\cdot\dfrac{48}{3}=1{,}96\cdot 16=31{,}36$

Los extremos del intervalo son:

$242-31{,}36=210{,}64$

$242+31{,}36=273{,}36$

El intervalo de confianza al 95 % para el importe medio es $(210{,}64;\ 273{,}36)$ miles de euros: con una confianza del 95 %, el importe medio de este tipo de préstamos está entre $210\,640$ y $273\,360$ euros.

$\textbf{ii) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{7x^2}{4x^3-2}\,dx}\textbf{.}\ (1\ \text{punto})$

El numerador es, salvo una constante, la derivada del denominador, de modo que la integral es de tipo logarítmico.

$\dfrac{d}{dx}\left(4x^3-2\right)=12x^2$

Se ajusta la constante multiplicando y dividiendo por 12:

$\int \dfrac{7x^2}{4x^3-2}\,dx =\dfrac{7}{12}\int \dfrac{12x^2}{4x^3-2}\,dx$

Haciendo uso de $\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$:

$\int \dfrac{7x^2}{4x^3-2}\,dx=\dfrac{7}{12}\ln\left|4x^3-2\right|+C$

Se comprueba derivando el resultado:

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{7}{12}\ln\left|4x^3-2\right|\right) =\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{12x^2}{4x^3-2} =\dfrac{7x^2}{4x^3-2}$