Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Un equipo de investigadores de salud pública está analizando la relación entre el tipo de dieta (Mediterránea o Vegetariana) y el nivel de actividad física (Baja, Moderada o Alta). Los datos obtenidos en una muestra representativa de 250 adultos se recogen en la siguiente tabla:

	Baja (B)	Moderada (M)	Alta (A)	TOTAL Dieta Mediterránea (DM)	42	68	45	155 Dieta Vegetariana (DV)	33	47	15	95 TOTAL	75	115	60	250

i) Obtenga la proporción muestral de adultos que tienen una actividad física Baja. (0.25 puntos)

ii) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la proporción de adultos en la población que tienen una actividad física Baja. (Utilice 4 decimales). (1.25 puntos)

Sea la matriz de datos $F = \begin{pmatrix} 42 & 68 & 45 \\ 33 & 47 & 15 \end{pmatrix}$ formada por las frecuencias de la tabla (sin los totales).

Se estima que el gasto calórico extra diario por nivel de actividad física es de 200 kcal (Baja), 500 kcal (Moderada) y 900 kcal (Alta).

iii) Defina la matriz columna de gasto calórico $C$ y calcule el producto $F \cdot C$, explicando qué representan los elementos de la matriz resultante en el contexto del estudio. (1 punto)

$\textbf{i) Obtenga la proporción muestral de adultos que tienen una actividad física Baja.}\ (0{,}25\ \text{puntos})$

La proporción muestral es el cociente entre los individuos que presentan la característica y el tamaño de la muestra. En la columna «Baja (B)» de la tabla el total es de 75 adultos sobre los 250 encuestados.

$\hat{p}=\dfrac{75}{250}=0{,}3$

La proporción muestral de adultos con actividad física Baja es $\hat{p}=0{,}3$, es decir, el 30 %.

$\textbf{ii) Calcule un intervalo de confianza al 95 \% para la proporción de adultos en la población que tienen una actividad física Baja. (Utilice 4 decimales).}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, luego $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Se calcula el error máximo con $\hat{p}=0{,}3$ y $n=250$:

$E=1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}3\cdot 0{,}7}{250}}=1{,}96\cdot\sqrt{0{,}00084}=1{,}96\cdot 0{,}0290=0{,}0568$

Los extremos del intervalo son:

$0{,}3-0{,}0568=0{,}2432$

$0{,}3+0{,}0568=0{,}3568$

El intervalo de confianza al 95 % para la proporción de adultos con actividad física Baja es $(0{,}2432;\ 0{,}3568)$.

$\textbf{iii) Defina la matriz columna de gasto calórico } \boldsymbol{C}\textbf{ y calcule el producto } \boldsymbol{F \cdot C}\textbf{, explicando qué representan los elementos de la matriz resultante en el contexto del estudio.}\ (1\ \text{punto})$

Las columnas de $F$ son los tres niveles de actividad física en el orden Baja, Moderada y Alta, así que la matriz columna del gasto calórico debe llevar esos mismos niveles en ese mismo orden:

$C=\begin{pmatrix} 200 \\ 500 \\ 900 \end{pmatrix}$

$F$ es de dimensión $2\times 3$ y $C$ de dimensión $3\times 1$, luego el producto $F\cdot C$ existe y es de dimensión $2\times 1$.

$F\cdot C= \begin{pmatrix} 42 & 68 & 45 \\ 33 & 47 & 15 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 200 \\ 500 \\ 900 \end{pmatrix}$

$F\cdot C= \begin{pmatrix} 42\cdot 200+68\cdot 500+45\cdot 900 \\ 33\cdot 200+47\cdot 500+15\cdot 900 \end{pmatrix}$

$F\cdot C= \begin{pmatrix} 8400+34000+40500 \\ 6600+23500+13500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 82900 \\ 43600 \end{pmatrix}$

Cada elemento es el gasto calórico extra diario, en kilocalorías, de todos los adultos de una dieta: los 155 adultos de dieta Mediterránea gastan en conjunto $82\,900$ kcal extra al día y los 95 de dieta Vegetariana, $43\,600$ kcal extra al día.