Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Dada la función $f(x) = ax^2 + 5x + \dfrac{b}{x}$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1,4)$. (1.25 puntos)

ii) Utilizando los valores $a=2$ y $b=0$, determine la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. (1.25 puntos)

$\textbf{i) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función tenga un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(1,4)}\textbf{.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1,4)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por ese punto y que la derivada se anule en él.

Se impone primero que el punto pertenezca a la gráfica:

$f(1)=4 \Rightarrow a\cdot 1^2+5\cdot 1+\dfrac{b}{1}=4 \Rightarrow a+b+5=4 \Rightarrow a+b=-1$

Se deriva la función escribiendo el último sumando como una potencia:

$f(x)=ax^2+5x+bx^{-1} \Rightarrow f'(x)=2ax+5-bx^{-2}=2ax+5-\dfrac{b}{x^2}$

Se impone ahora que la derivada se anule en $x=1$:

$f'(1)=0 \Rightarrow 2a+5-b=0 \Rightarrow b=2a+5$

Se reúnen las dos condiciones en un sistema y se resuelve por sustitución:

$\begin{cases} a+b=-1 \\ b=2a+5 \end{cases} \Rightarrow a+2a+5=-1 \Rightarrow 3a=-6 \Rightarrow a=-2$

$b=2\cdot(-2)+5=1$

Los valores pedidos son $a=-2$ y $b=1$.

$\textbf{ii) Utilizando los valores } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=0}\textbf{, determine la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}\ (1{,}25\ \text{puntos})$

Con esos valores la función queda

$f(x)=2x^2+5x$

La recta tangente en un punto de abscisa $x_0$ tiene por ecuación $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta la ordenada y la pendiente en $x=1$.

$f(1)=2\cdot 1^2+5\cdot 1=7$

$f'(x)=4x+5 \Rightarrow f'(1)=4+5=9$

Se sustituye en la ecuación de la recta:

$y-7=9(x-1) \Rightarrow y=9x-9+7$

La recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$ es $y=9x-2$.