Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

La siguiente imagen representa la región factible no acotada de un problema de programación lineal:



Considere la función objetivo $z = f(x,y) = 2x + y$.

i) Utilice el método gráfico para minimizar la función objetivo en dicha región e indique el valor óptimo de la función objetivo. (1 punto)

ii) Añada la restricción $y \leq 5$ y represente la nueva región factible, señalando sus vértices. Razone en qué punto se alcanza el máximo de la función objetivo e indique el valor óptimo de la función objetivo. (1.5 puntos)

$\textbf{i) Utilice el método gráfico para minimizar la función objetivo en dicha región e indique el valor óptimo de la función objetivo.}\ (1\ \text{punto})$

De la gráfica del enunciado se leen las tres rectas que delimitan la región factible y los dos vértices que la cierran.

$\begin{cases} y=2x+1 \\ x+4y=13 \\ y=x-3 \end{cases}$

El vértice $A(1,3)$ es la intersección de las dos primeras y el vértice $B(5,2)$ la de las dos últimas:

$2\cdot 1+1=3 \Rightarrow A\in y=2x+1$ y $1+4\cdot 3=13 \Rightarrow A\in x+4y=13$.

$5+4\cdot 2=13 \Rightarrow B\in x+4y=13$ y $5-3=2 \Rightarrow B\in y=x-3$.

La región coloreada es, por tanto, el recinto

$\begin{cases} y\leq 2x+1 \\ x+4y\geq 13 \\ y\geq x-3 \end{cases}$

Se valora la función objetivo $z=f(x,y)=2x+y$ en los dos vértices:

$f(A)=f(1,3)=2\cdot 1+3=5$

$f(B)=f(5,2)=2\cdot 5+2=12$

Como la región no está acotada hay que comprobar además qué le ocurre a la función objetivo sobre las dos semirrectas que se van al infinito.

Sobre la arista contenida en $y=2x+1$: $f(x,2x+1)=2x+2x+1=4x+1$, que crece con $x$.

Sobre la arista contenida en $y=x-3$: $f(x,x-3)=2x+x-3=3x-3$, que también crece con $x$.

Al alejarse del origen por cualquiera de las dos direcciones la función objetivo aumenta, de modo que no hay máximo pero sí mínimo, y este se alcanza en un vértice.

El mínimo se alcanza en el vértice $A(1,3)$ y el valor óptimo de la función objetivo es $z=5$.

$\textbf{ii) Añada la restricción } \boldsymbol{y \leq 5}\textbf{ y represente la nueva región factible, señalando sus vértices. Razone en qué punto se alcanza el máximo de la función objetivo e indique el valor óptimo de la función objetivo.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

La recta $y=5$ corta a la región por arriba y la convierte en un recinto acotado. Se calculan los dos vértices nuevos.

$\begin{cases} y=2x+1 \\ y=5 \end{cases} \Rightarrow 2x+1=5 \Rightarrow x=2 \Rightarrow C(2,5)$

$\begin{cases} y=x-3 \\ y=5 \end{cases} \Rightarrow x-3=5 \Rightarrow x=8 \Rightarrow D(8,5)$

La nueva región factible es el cuadrilátero de vértices $A(1,3)$, $C(2,5)$, $D(8,5)$ y $B(5,2)$. La región factible es la zona coloreada en azul.



Como el recinto es ahora acotado y la función objetivo es lineal, su máximo se alcanza necesariamente en uno de los vértices. Se valora la función objetivo en los cuatro:

$f(A)=f(1,3)=2\cdot 1+3=5$

$f(C)=f(2,5)=2\cdot 2+5=9$

$f(D)=f(8,5)=2\cdot 8+5=21$

$f(B)=f(5,2)=2\cdot 5+2=12$

El máximo se alcanza en el vértice $D(8,5)$, que es el más alejado del origen en la dirección de crecimiento de la función objetivo, y el valor óptimo es $z=21$.