Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x) = \dfrac{x}{2}+1$ y $g(x) = \sqrt{x-2}+2$. Encuentre los dos puntos en los que se cortan sus gráficas, y calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Igualamos las dos funciones. La raíz obliga a que $x\geq2$:

$\dfrac{x}{2}+1=\sqrt{x-2}+2 \Rightarrow \dfrac{x}{2}-1=\sqrt{x-2} \Rightarrow \dfrac{x-2}{2}=\sqrt{x-2}$

Con el cambio $u=\sqrt{x-2}\geq0$, de modo que $x-2=u^2$,

$\dfrac{u^2}{2}=u \Rightarrow u^2-2u=0 \Rightarrow u(u-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} u=0 \Rightarrow x=2 \\ u=2 \Rightarrow x=6 \end{cases}$

Los dos valores son válidos, porque los dos cumplen $x\geq2$ y hacen positivo el primer miembro. Las ordenadas se obtienen sustituyendo en $f$:

$f(2)=1+1=2 \qquad f(6)=3+1=4$

Los puntos de corte son

$(2,2) \qquad\text{y}\qquad (6,4)$

Entre ellos va por encima la rama de raíz, como se comprueba en $x=4$:

$g(4)=\sqrt2+2\approx3{,}414 \qquad f(4)=3$



El área es la integral de la diferencia:

$A=\displaystyle\int_{2}^{6}\left[\sqrt{x-2}+2-\dfrac{x}{2}-1\right]dx=\int_{2}^{6}\left[\sqrt{x-2}+1-\dfrac{x}{2}\right]dx$

$A=\left[\dfrac{2}{3}(x-2)^{3/2}+x-\dfrac{x^2}{4}\right]_{2}^{6}$

$A=\left(\dfrac23\cdot8+6-9\right)-\left(0+2-1\right)=\left(\dfrac{16}{3}-3\right)-1=\dfrac{16}{3}-4=\dfrac43$

Las gráficas se cortan en $(2,2)$ y $(6,4)$, y el recinto que encierran tiene un área de $\dfrac43\approx1{,}33$ unidades cuadradas.