Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Calcule los extremos absolutos de la función $f(x) = e^{\pi x} \cdot \sin(\pi x)$ en el intervalo $\left[\dfrac{1}{2}, 2\right]$. Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

El resultado teórico que se emplea es el teorema de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo absolutos. La función $f(x)=e^{\pi x}\sin(\pi x)$ es producto de una exponencial y un seno, continuas en todo $\mathbb{R}$, luego es continua en $\left[\frac12,2\right]$ y los dos extremos absolutos existen.

Los candidatos son los puntos críticos del interior y los dos extremos del intervalo. Derivamos:

$f'(x)=\pi e^{\pi x}\sin(\pi x)+\pi e^{\pi x}\cos(\pi x)=\pi e^{\pi x}\left[\sin(\pi x)+\cos(\pi x)\right]$

La exponencial no se anula nunca, así que

$f'(x)=0 \Rightarrow \sin(\pi x)+\cos(\pi x)=0 \Rightarrow \tan(\pi x)=-1 \Rightarrow \pi x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$

$x=\dfrac34+k \Rightarrow \text{en }\left[\tfrac12,2\right]:\ x=\dfrac34,\quad x=\dfrac74$

El signo de $f'$ es el de $\sin(\pi x)+\cos(\pi x)=\sqrt2\,\sin\left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)$, que es positivo antes de $\frac34$, negativo entre $\frac34$ y $\frac74$ y positivo después:



En $x=\frac34$ hay, por tanto, un máximo relativo y en $x=\frac74$ un mínimo relativo. Evaluamos los cuatro candidatos:

$f\left(\dfrac12\right)=e^{\pi/2}\sin\dfrac{\pi}{2}=e^{\pi/2}\approx4{,}810$

$f\left(\dfrac34\right)=e^{3\pi/4}\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\,e^{3\pi/4}\approx7{,}460$

$f\left(\dfrac74\right)=e^{7\pi/4}\sin\dfrac{7\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\,e^{7\pi/4}\approx-172{,}641$

$f(2)=e^{2\pi}\sin(2\pi)=0$

Comparando los cuatro valores, el máximo absoluto se alcanza en $x=\dfrac34$ y vale $\dfrac{\sqrt2}{2}e^{3\pi/4}\approx7{,}46$, y el mínimo absoluto se alcanza en $x=\dfrac74$ y vale $-\dfrac{\sqrt2}{2}e^{7\pi/4}\approx-172{,}64$. Los dos son interiores al intervalo.