Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

$r \equiv \begin{cases} x+2y+z-1=0 \\ x+3z-7=0 \end{cases}$ y $s \equiv \dfrac{x+2}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+3}{0}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 3\end{vmatrix}=(6,-2,-2)\ \parallel\ (3,-1,-1)$

y un punto se obtiene con $z=0$:

$\begin{cases} x+2y-1=0 \\ x-7=0 \end{cases} \Rightarrow x=7,\ y=-3$

$r:\ \{R(7,-3,0),\ \vec v_r=(3,-1,-1)\}$

De $s$ leemos $S(-2,0,-3)$ y $\vec v_s=(2,1,0)$.

Las dos rectas se cruzan, porque los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula:

$\left[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{RS}\right]=\begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -9 & 3 & -3\end{vmatrix}=-30\neq0$



i) El director de la perpendicular común es el producto vectorial de los dos:

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & -1 & -1\\ 2 & 1 & 0\end{vmatrix}=(1,-2,5)$

ii) Buscamos los pies. Con los puntos genéricos

$P(7+3\lambda,\,-3-\lambda,\,-\lambda)\in r \qquad Q(-2+2\mu,\,\mu,\,-3)\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(-9+2\mu-3\lambda,\ 3+\mu+\lambda,\ -3+\lambda)$

imponemos que sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=3(-9+2\mu-3\lambda)-(3+\mu+\lambda)-(-3+\lambda)=-27+5\mu-11\lambda=0$

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=2(-9+2\mu-3\lambda)+(3+\mu+\lambda)=-15+5\mu-5\lambda=0$

De la segunda, $\mu=\lambda+3$; sustituyendo en la primera, $-27+5\lambda+15-11\lambda=0 \Rightarrow -6\lambda=12 \Rightarrow \lambda=-2$, y por tanto $\mu=1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda=-2 \Rightarrow P(1,-1,2) \qquad \mu=1 \Rightarrow Q(0,1,-3)$

$\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-5)\ \parallel\ (1,-2,5)$, proporcional al director hallado, y

$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=-3-2+5=0 \qquad \overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_s=-2+2+0=0$

La recta pedida, escrita por el punto $P$, es

$t\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{5}$

Corta perpendicularmente a $r$ en $P(1,-1,2)$ y a $s$ en $Q(0,1,-3)$, y la distancia entre las dos rectas es $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{30}$ unidades.