Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}+\ln\dfrac{x^2+2}{3} & x<1 \\[1ex] \dfrac{x^2}{3} & x \geq 1 \end{cases}$.

a) Demuestre que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor $\alpha \in (0,2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Enuncie el(los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es derivable en todo } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{.}$

Cada rama es derivable en su intervalo abierto: para $x<1$, el argumento del logaritmo, $\frac{x^2+2}{3}$, es siempre positivo, y para $x>1$ se trata de un polinomio. El único punto que hay que estudiar es el de empalme, $x=1$, y allí hacen falta dos cosas: que la función sea continua y que las derivadas laterales coincidan.

Continuidad:

$\displaystyle\lim_{x\to1^-}\left(\dfrac13+\ln\dfrac{x^2+2}{3}\right)=\dfrac13+\ln1=\dfrac13$

$\displaystyle\lim_{x\to1^+}\dfrac{x^2}{3}=\dfrac13=f(1)$

Derivadas laterales:

$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}\ \ (x<1) \qquad f'(x)=\dfrac{2x}{3}\ \ (x>1)$

—en la primera se ha usado que $\ln\frac{x^2+2}{3}=\ln(x^2+2)-\ln3$—.

$f'(1^-)=\dfrac{2}{1+2}=\dfrac23 \qquad f'(1^+)=\dfrac23$

Coinciden, luego $f$ es derivable en $x=1$ y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$, con

$f'(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{x^2+2} & x<1 \\[1ex] \dfrac{2x}{3} & x\geq1 \end{cases}$

$\textbf{b) Demuestre que existe un valor } \boldsymbol{\alpha\in(0,2)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=1}\textbf{. Enuncie el(los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema de los valores intermedios, esta vez sobre la función derivada: si $f'$ es continua en $[a,b]$, toma todos los valores comprendidos entre $f'(a)$ y $f'(b)$.

La derivada es continua en $[0,2]$: cada rama lo es y en el empalme los dos límites laterales valen $\frac23$, como acabamos de ver. Calculamos sus valores en los extremos:

$f'(0)=\dfrac{0}{0+2}=0 \qquad f'(2)=\dfrac{4}{3}$

Como

$f'(0)=0<1<\dfrac43=f'(2)$

el teorema garantiza que existe $\alpha\in(0,2)$ con $f'(\alpha)=1$. De hecho puede identificarse: en la rama de la derecha, $\frac{2x}{3}=1 \Rightarrow x=\frac32$, que pertenece a $(1,2)\subset(0,2)$.