Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule las integrales indefinidas:

$\displaystyle\int \dfrac{x-7}{x^2+x-6}\,dx$ [1,25 puntos]

$\displaystyle\int e^{2x}\sin(2x+1)\,dx$ [1,25 puntos]

$\textbf{Primera integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int\frac{x-7}{x^2+x-6}\,dx}$

Es racional con el numerador de grado menor que el denominador, así que descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero:

$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{-1\pm5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ x=-3 \end{cases} \Rightarrow x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

$\dfrac{x-7}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+3} \Rightarrow x-7=A(x+3)+B(x-2)$

$x=2 \Rightarrow -5=5A \Rightarrow A=-1$

$x=-3 \Rightarrow -10=-5B \Rightarrow B=2$

$\displaystyle\int\dfrac{x-7}{x^2+x-6}\,dx=\int\dfrac{-1}{x-2}\,dx+\int\dfrac{2}{x+3}\,dx=-\ln|x-2|+2\ln|x+3|+C$

$\textbf{Segunda integral: } \boldsymbol{\displaystyle\int e^{2x}\sin(2x+1)\,dx}$

Es una integral cíclica: se resuelve aplicando dos veces la integración por partes y despejando. Llamemos $I$ a la integral buscada.

$\begin{cases} u=\sin(2x+1) & du=2\cos(2x+1)\,dx \\ dv=e^{2x}dx & v=\dfrac{e^{2x}}{2} \end{cases}$

$I=\dfrac{e^{2x}}{2}\sin(2x+1)-\int e^{2x}\cos(2x+1)\,dx$

Repetimos con la nueva integral:

$\begin{cases} u=\cos(2x+1) & du=-2\sin(2x+1)\,dx \\ dv=e^{2x}dx & v=\dfrac{e^{2x}}{2} \end{cases}$

$\displaystyle\int e^{2x}\cos(2x+1)\,dx=\dfrac{e^{2x}}{2}\cos(2x+1)+\int e^{2x}\sin(2x+1)\,dx=\dfrac{e^{2x}}{2}\cos(2x+1)+I$

Sustituyendo,

$I=\dfrac{e^{2x}}{2}\sin(2x+1)-\dfrac{e^{2x}}{2}\cos(2x+1)-I \Rightarrow 2I=\dfrac{e^{2x}}{2}\left[\sin(2x+1)-\cos(2x+1)\right]$

$I=\dfrac{e^{2x}}{4}\left[\sin(2x+1)-\cos(2x+1)\right]+C$

Las integrales pedidas son $-\ln|x-2|+2\ln|x+3|+C$ y $\dfrac{e^{2x}}{4}\left[\sin(2x+1)-\cos(2x+1)\right]+C$.