Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

El plano $\pi$ pasa por los puntos $P_1(2,0,5)$, $P_2(1,-2,2)$ y $P_3(3,-1,2)$. Una esfera con centro en $C(0,1,-3)$ toca al plano en un único punto. Calcule el radio de la esfera y el punto de intersección. [2,5 puntos]

Que la esfera toque al plano en un único punto quiere decir que es tangente a él, y eso ocurre exactamente cuando el radio coincide con la distancia del centro al plano; el punto de contacto es entonces el pie de la perpendicular trazada desde el centro.

i) Hallamos primero el plano. Con dos vectores del plano,

$\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,-2,-3) \qquad \overrightarrow{P_1P_3}=(1,-1,-3)$

$\vec n=\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & -2 & -3\\ 1 & -1 & -3\end{vmatrix}=(3,-6,3)\ \parallel\ (1,-2,1)$

$\pi:\ (x-2)-2(y-0)+(z-5)=0 \Rightarrow \pi:\ x-2y+z-7=0$

Se comprueba que los tres puntos lo cumplen: $P_2:\ 1+4+2-7=0$ y $P_3:\ 3+2+2-7=0$.



ii) El radio es la distancia del centro al plano:

$R=d(C,\pi)=\dfrac{|0-2\cdot1+(-3)-7|}{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{|-12|}{\sqrt6}=\dfrac{12}{\sqrt6}=2\sqrt6\approx4{,}899$

iii) El punto de tangencia es el corte con $\pi$ de la recta que pasa por $C$ con dirección $\vec n$:

$X(0+k,\,1-2k,\,-3+k)$

$k-2(1-2k)+(-3+k)-7=0 \Rightarrow k-2+4k-3+k-7=0 \Rightarrow 6k=12 \Rightarrow k=2$

$k=2 \Rightarrow T(2,-3,-1)$

Comprobamos que la distancia de $C$ a ese punto es el radio:

$\overrightarrow{CT}=(2,-4,2) \Rightarrow \left|\overrightarrow{CT}\right|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6$

El radio de la esfera es $2\sqrt6\approx4{,}899$ unidades y el punto de contacto es $T(2,-3,-1)$.