Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Encuentre los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $f(x) = \sin(\pi x)$ y $g(x) = |x^2-x|$. Calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Buscamos los cortes de las dos gráficas. Como $g$ lleva un valor absoluto, conviene fijarse en dónde se anula cada función: $x^2-x=x(x-1)$ se anula en $x=0$ y en $x=1$, y $\sin(\pi x)$ también, porque $\sin0=\sin\pi=0$. Los dos puntos

$(0,0) \qquad\text{y}\qquad (1,0)$

son, por tanto, comunes a las dos curvas.

No hay más. Fuera de $[0,1]$ se tiene $|x^2-x|=x^2-x>0$ y crece deprisa, mientras que el seno no pasa de 1; comprobándolo en un punto de cada lado,

$x=-0{,}1:\ \sin(-0{,}1\pi)\approx-0{,}309<0{,}11=|x^2-x|$

$x=1{,}1:\ \sin(1{,}1\pi)\approx-0{,}309<0{,}11=|x^2-x|$

y a partir de ahí la diferencia solo se agranda, ya que el seno es negativo en $(1,2)$ y en $(-1,0)$ y la parábola es positiva.

En el interior de $(0,1)$ el producto $x(x-1)$ es negativo, de modo que

$g(x)=\left|x^2-x\right|=x-x^2$

y la senoide va por encima, como se comprueba en el punto medio:

$f\left(\dfrac12\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1 \qquad g\left(\dfrac12\right)=\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$



El área es la integral de la diferencia entre 0 y 1:

$A=\displaystyle\int_{0}^{1}\left[\sin(\pi x)-\left(x-x^2\right)\right]dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\,dx=\left[-\dfrac{\cos(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{1}=\dfrac1\pi+\dfrac1\pi=\dfrac2\pi$

$\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x-x^2\right)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$

$A=\dfrac2\pi-\dfrac16=\dfrac{12-\pi}{6\pi}\approx0{,}4700\ \text{u}^2$

Las gráficas se cortan en $(0,0)$ y $(1,0)$, y el recinto que encierran tiene un área de $\dfrac2\pi-\dfrac16\approx0{,}47$ unidades cuadradas.