Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sea la función $f(x) = (x+3)^{\sin(\pi x)} \cdot \ln(x^2-x+2)$.

a) Demuestre que la función es continua en el intervalo $[-1,0]$. [1 punto]

b) Demuestre que existe $\alpha \in (-1,0)$ tal que $f'(\alpha) = -\ln 2$. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Demuestre que la función es continua en el intervalo } \boldsymbol{[-1,0]}\textbf{.}$

La función es el producto de dos factores.

El primero, $(x+3)^{\sin(\pi x)}$, es una potencia de base y exponente variables; es continua donde la base es positiva, y en $[-1,0]$ se tiene $x+3\in[2,3]$, siempre positiva. El exponente, $\sin(\pi x)$, es continuo en todo $\mathbb{R}$.

El segundo, $\ln\left(x^2-x+2\right)$, exige que el argumento sea positivo, y lo es siempre porque su discriminante es negativo:

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0$

El producto de funciones continuas es continuo, así que $f$ es continua en $[-1,0]$; y por los mismos motivos es derivable en $(-1,0)$.

$\textbf{b) Demuestre que existe } \boldsymbol{\alpha\in(-1,0)}\textbf{ tal que } \boldsymbol{f'(\alpha)=-\ln2}\textbf{. Enuncie los resultados teóricos empleados y justifique su uso.}$

El resultado que se aplica es el teorema del valor medio de Lagrange: si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe algún $\alpha\in(a,b)$ tal que

$f'(\alpha)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Las dos hipótesis están probadas en el apartado anterior. Calculamos los valores en los extremos, teniendo en cuenta que el seno se anula en los múltiplos enteros de $\pi$ y que toda potencia de exponente cero vale 1:

$f(-1)=(-1+3)^{\sin(-\pi)}\ln\left(1+1+2\right)=2^{0}\cdot\ln4=\ln4=2\ln2$

$f(0)=(0+3)^{\sin0}\ln\left(0-0+2\right)=3^{0}\cdot\ln2=\ln2$

$\dfrac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=\dfrac{\ln2-2\ln2}{1}=-\ln2$

que es exactamente el valor del enunciado. El teorema garantiza, pues, que existe $\alpha\in(-1,0)$ con $f'(\alpha)=-\ln2$.