Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Los puntos $A \equiv (-1,2,1)$ y $B \equiv (2,5,1)$ son dos vértices de un cuadrado. Halle los otros dos vértices sabiendo que están en la recta de ecuación

$r \equiv \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y-4}{1} = \dfrac{z+1}{-4}$ [2,5 puntos]

Lo primero es averiguar si $A$ y $B$ son vértices contiguos o vértices opuestos, porque el planteamiento es distinto en cada caso.

$\overrightarrow{AB}=(2,5,1)-(-1,2,1)=(3,3,0) \qquad \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2$

De la recta leemos $R(0,4,-1)$ y $\vec v_r=(-1,1,-4)$, con $\left|\vec v_r\right|=\sqrt{1+1+16}=3\sqrt2$.

Calculamos el punto medio de $\overline{AB}$:

$M=\left(\dfrac{-1+2}{2},\dfrac{2+5}{2},\dfrac{1+1}{2}\right)=\left(\dfrac12,\dfrac72,1\right)$

y comprobamos que pertenece a $r$: con el parámetro $\lambda=-\frac12$ se obtiene

$\left(-\left(-\tfrac12\right),\ 4-\tfrac12,\ -1-4\left(-\tfrac12\right)\right)=\left(\tfrac12,\tfrac72,1\right)=M$

Además la recta es perpendicular al segmento, porque

$\vec v_r\cdot\overrightarrow{AB}=-3+3+0=0$

Es decir, $r$ es la mediatriz de $\overline{AB}$ en el plano del cuadrado: $A$ y $B$ no pueden ser contiguos —si lo fueran, los otros dos vértices estarían sobre una paralela a $\overline{AB}$—, sino que son vértices opuestos y $\overline{AB}$ es una diagonal.



En un cuadrado las dos diagonales miden lo mismo, se cortan en su punto medio y son perpendiculares. Los otros dos vértices son, por tanto, los puntos de $r$ que distan de $M$ media diagonal:

$\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$

Como $\left|\vec v_r\right|=3\sqrt2$, avanzar esa distancia es sumar o restar la mitad del director:

$C,\,D=M\pm\dfrac12\,\vec v_r=\left(\dfrac12,\dfrac72,1\right)\pm\dfrac12(-1,1,-4)=\left(\dfrac12,\dfrac72,1\right)\pm\left(-\dfrac12,\dfrac12,-2\right)$

$C(0,4,-1) \qquad D(1,3,3)$

Comprobamos que el cuadrilátero $ACBD$ es efectivamente un cuadrado: los cuatro lados miden lo mismo,

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=|(1,2,-2)|=3 \qquad \left|\overrightarrow{CB}\right|=|(2,1,2)|=3 \qquad \left|\overrightarrow{BD}\right|=|(-1,-2,2)|=3 \qquad \left|\overrightarrow{DA}\right|=|(-2,-1,-2)|=3$

y las diagonales son iguales y perpendiculares: $\left|\overrightarrow{CD}\right|=|(1,-1,4)|=3\sqrt2=\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

Los otros dos vértices del cuadrado son $C(0,4,-1)$ y $D(1,3,3)$, y el cuadrado tiene lado 3.